平面の方程式

平面も、直線と同じように、いくつかの方法で表せます。いちばん簡単な、平面の媒介変数表示から始めましょう。

平面の媒介変数表示

まず、直線 p の媒介変数表示をどう求めたかを思い出しましょう。直線 p が通る点 A と、方向ベクトル $\overrightarrow{u}$ を選びました。点 A に方向ベクトルの t 倍を足すと、直線 p 上の点が得られました。こうして、直線上のどの点 X についても次の式が得られました。

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{u},t\in \mathbb{R}.$$

同じように考えると、平面の方程式が得られます。平面を表すには、零ベクトルでなく、互いに平行でない2つのベクトルと、もちろん平面が通る点 A が必要です。ベクトルが平行であってはいけないのは、2つのベクトルが同じ直線上に並んでしまわないためです。直線1本では平面は決まりません。1本の直線を含む平面は無数にあるからです。

別の考え方もできます。直線は異なる2点 A, B で決まります。しかし、この2点を通る平面は無数にあります。ところが、この2点に、直線 AB 上にない点 C を加えれば、平面はただ1つに決まります。

したがって、異なる3点 A, B, C があれば、異なる2つのベクトル $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$ がつくれます。この2つのベクトルと、たとえば点 A で平面が決まります。ベクトルの和を思い出しましょう。

2つのベクトルを足すと、その2つのベクトルの「間」を向くベクトルが得られることがわかります。ベクトル $\overrightarrow{u}$ と $\overrightarrow{v}$ のいろいろな実数倍を次々に足していけば、平面全体を埋めつくせます。そこで、ベクトル $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ で決まり、点 A を通る平面の媒介変数表示を次のように書けます。

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{u}+s\cdot \overrightarrow{v},t,s\in \mathbb{R}$$

ここで X は平面上の点です。平面上のどの点についても、この式が成り立つような t と s が見つかります。この式は連立方程式に書き直すこともできます。X(x, y, z), A(a₁, a₂, a₃), $\overrightarrow{u}=(u_1,u_2,u_3)$, $\overrightarrow{v}=(v_1,v_2,v_3)$ とします。

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1+s\cdot v_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2+s\cdot v_2\\ z& =& a_3+t\cdot u_3+s\cdot v_3\end{array}$$

例題

3点 A(2, 3, 4), B(3, 7, −1), C(−5, 4, 4) で決まる平面上に、点 Q(0, 3, 5) があるかどうかを調べなさい。

まず、平面の方程式をつくります。ベクトル $\overrightarrow{u}$ と $\overrightarrow{v}$ を、$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$ として求めます。次のようになります。

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{u}& =& B-A=(3,7,-1)-(2,3,4)=(1,4,-5)\\ \overrightarrow{v}& =& C-A=(-5,4,4)-(2,3,4)=(-7,1,0)\end{array}$$

平面は点 A を通るので、連立方程式は次のようになります。

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ y& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ z& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\end{array}$$

次に、この平面が点 Q(0, 3, 5) を通るかどうかを調べます。そのためには、x,y,z にそれぞれ 0, 3, 5 を代入し、連立方程式を解きます。すると、次の連立方程式が得られます。

$$\begin{array}{rcl}0& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ 3& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ 5& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\end{array}$$

最後の方程式を t について解きます。

$$\begin{array}{rcl}5& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\\ 5& =& 4-t\cdot 5\\ 1& =& -t\cdot 5\\ t\cdot 5& =& -1\\ t& =& -\frac{1}{5}\end{array}$$

t を2つ目の方程式に代入します。

$$\begin{array}{rcl}3& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ 3& =& 3-\frac{1}{5}\cdot 4+s\cdot 1\\ 0& =& -\frac{4}{5}+s\cdot 1\\ s& =& \frac{4}{5}\end{array}$$

最後に、t と s の値を1つ目の方程式に代入し、方程式が成り立つかどうかを調べます。

$$\begin{array}{rcl}0& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ 0& =& 2-\frac{1}{5}\cdot 1-\frac{4}{5}\cdot 7\\ 0& =& \frac{10}{5}-\frac{1}{5}-\frac{28}{5}\\ 0& =& -\frac{19}{5}\end{array}$$

方程式は成り立たないので、連立方程式全体も解をもちません。したがって、点 Q(0, 3, 5) はこの平面上にありません。