Afstand tussen twee evenwijdige lijnen

Tussen twee evenwijdige lijnen in het vlak kunnen we een afstand definiëren.

Opgave

We hebben twee evenwijdige lijnen, p: −x +3y = 16 en q: −x + 3y = 4. Hoe vinden we de afstand tussen deze twee lijnen?

De afstand tussen zulke lijnen kunnen we gemakkelijk herleiden tot de afstand van een punt tot een lijn. Het volstaat om op een van de lijnen een punt te kiezen en dan de afstand van dit punt tot de andere lijn te berekenen.

Op lijn q kunnen we het punt A(8, 4) kiezen. Door in te vullen in de vergelijking van lijn q controleren we dat het inderdaad een punt van deze lijn is:

$$\begin{array}{rcl}-x+3y& =& 4\\ -8+3\cdot 4& =& 4\\ -8+12& =& 4\\ 4& =& 4\end{array}$$

Nu berekenen we de genoemde afstand van punt A tot lijn p. Daarvoor hebben we de formule

$$\begin{array}{rcl}d(A,p)& =& \frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2-c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{array}$$

We vullen dus gewoon in:

$$\begin{array}{rcl}d(A,p)& =& \frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2-c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ d(A,p)& =& \frac{|-1\cdot 8+3\cdot 4-16|}{\sqrt{(-1{)}^2+3^2}}\\ & =& \frac{12}{\sqrt{10}}\approx \mathrm{3,795}\end{array}$$