直線の媒介変数表示

直線の媒介変数表示は、平面や空間の直線を表す基本的な式です。

考え方

平面上の直線はどう表せばよいでしょうか。直線を決めるには、異なる2点、たとえば A と B があれば十分です。言いかえると、異なる2点があれば、その2点を通る直線 p がちょうど1本引けます。

この直線を、ベクトルを使って別の方法で表すにはどうすればよいでしょうか。図に、直線 p に平行なベクトル $\overrightarrow{u}$ をかき加えてみましょう。

このベクトル $\overrightarrow{u}$ は直線 p と同じ向きです。ここまではよいのですが、向きだけでは足りません。直線 p をベクトル $\overrightarrow{u}$ だけで表すと、決まるのは直線の向きだけで、具体的な位置は決まりません。次の3本の直線を区別できないのです。

新しい直線 p₁ と p₂ は、直線 p とも、ベクトル $\overrightarrow{u}$ とも同じ向きです。直線 p をただ1つに決めるには、さらに直線 p 上の点を少なくとも1つ知る必要があります。直線 p の向きがベクトル $\overrightarrow{u}$ で表され、点 A を通るといえば、直線 p はただ1つに決まります。直線 p₁ と p₂ は同じ向きですが、どちらも点 A を通りません。

どんな直線も $p(A,\overrightarrow{u})$ と書けます。ここで A は直線上の点、$\overrightarrow{u}$ は直線に平行なベクトルです。たとえば、直線 p₁ は $p(G,\overrightarrow{u})$、直線 p₂ は $p(E,\overrightarrow{u})$ または $p(F,\overrightarrow{u})$ と書けます。直線上の点なら、どれを使ってもかまいません。

直線の方向ベクトル

直線 $p(A,\overrightarrow{u})$ があるとき、ベクトル $\overrightarrow{u}$ を直線の方向ベクトルといいます。方向ベクトルを求めるいちばん簡単な方法は、直線 p 上の2点 A, B を見つけ、有向線分 $\overrightarrow{AB}$ を方向ベクトルにすることです。このベクトルの成分は、座標の差 $\overrightarrow{u}=B-A$ で求められます。例を見てみましょう。

直線 p 上に2点 A, B があります。方向ベクトルは有向線分 $\overrightarrow{AB}$ に等しいので、ベクトル $\overrightarrow{u}$ の成分は次のように計算します。

$$\overrightarrow{u}=(u_1,u_2)=(6,6)-(2,4)=(4,2)$$

ベクトル $\overrightarrow{u}$ の大きさは、有向線分 $\overrightarrow{AB}$ と同じです。このベクトル $\overrightarrow{u}$ を図にかき込むと、次のようになります。

ベクトル $\overrightarrow{u}$ の終点の座標は、計算したとおり (4, 2) で、このベクトルが直線に平行であることがわかります。方向ベクトルが示すのは直線の向き、あるいは「直線の傾き具合」だけです。方向ベクトルは直線に平行でさえあればよいのです。そのため、有向線分 $\overrightarrow{AB}$ の代わりに有向線分 $\overrightarrow{BA}$ を使うと、方向ベクトルは $\overrightarrow{v}=A-B$ になります。

$$\overrightarrow{v}=(v_1,v_2)=(2,4)-(6,6)=(-4,-2)$$

図にかくと次のようになります。

緑のベクトル $\overrightarrow{v}$ は、青いベクトル $\overrightarrow{u}$ の逆ベクトルです。どちらも直線 p に平行なので、どちらも直線 p の方向ベクトルです。

直線の媒介変数表示

直線 p、この直線上の点 A、方向ベクトル $\overrightarrow{u}$ があるとします。点 A とベクトル $\overrightarrow{u}$ を足すと、どんな点が得られるでしょうか。図を見てみましょう。

直線上の点に方向ベクトルを足すと、やはりこの直線上にある点 X が得られます。要するに、「点 A をベクトルの向きに、ベクトル $\overrightarrow{u}$ の大きさだけ動かした」だけです。点 X の座標は次のとおりです。

$$X=(x,y)=A+\overrightarrow{u}=(2,1)+(1,3)=(3,4)$$

ベクトル $\overrightarrow{u}$ の半分や2倍、あるいは −1 倍を使うとどうなるでしょうか。これも図で示します。

点 A に方向ベクトル $\overrightarrow{u}$ の何倍を足しても、得られる点はいつも直線 p 上にあります。赤い点 A が「出発点」で、緑の点は点 A に青い方向ベクトル $\overrightarrow{u}$ の実数倍を足した結果です。

実は、直線 p 上のどの点 X を選んでも、その点はいつも、点 A と方向ベクトル $\overrightarrow{u}$ の t 倍の和として表せます（t は実数）。直線 p 上のすべての点 X について、次の式を満たす t ∈ ℝ があるといえます。

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{u}.$$

言いかえると、この式の t にすべての実数を順に代入すれば、直線 p をつくるすべての点、つまり直線 p 全体が得られます。この式を直線 $p(A,\overrightarrow{u})$ の媒介変数表示といい、t を媒介変数（パラメータ）といいます。

この式は連立方程式に書きかえられます。点 X の座標が (x, y)、点 A の座標が (a₁, a₂)、ベクトル $\overrightarrow{u}$ の成分が (u₁, u₂) なら、次のように書けます。

$$(x,y)=(a_1,a_2)+t\cdot (u_1,u_2),$$

これは、先ほど述べた連立方程式に書きかえられます（x 座標と y 座標を別々に表します）。

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2\end{array}$$

平面上のどんな直線も、この連立方程式で表せます。

媒介変数の範囲の制限

前の節で、媒介変数表示の媒介変数 t にすべての実数を代入すると直線が得られることを見ました。すべての実数ではなく、その半分、たとえば0以上の実数だけを代入するとどうなるでしょうか。

半直線が得られます。次の図に戻ると……

……方向ベクトル $\overrightarrow{u}$ の正の実数倍（つまり正の媒介変数 t）では、点 A より「上」にある点 X が得られたことがわかります。逆に、$\overrightarrow{u}$ の負の実数倍（つまり負の媒介変数 t）を足すと、点 A の「反対側」、つまり「下」にある点が得られました。媒介変数 t に0以上のすべての数、つまり t ∈ [0, ∞) を代入すると、赤で示した次の半直線 r が得られます。

破線は、逆に媒介変数 t にすべての負の数を代入したときに得られる点を表しています。

媒介変数 t に区間 [0, 1] のすべての数を代入すると、長さが方向ベクトルの大きさと等しい線分が得られます。次の赤い線分です。

例題

平面上に2点 A(−1, 3) と B(2, 5) があります。

1. 点 A, B を通る直線 p の媒介変数表示を求めなさい。まず方向ベクトルを求めます。有向線分 $\overrightarrow{AB}$ を使うと、方向ベクトル $\overrightarrow{u}$ の成分は次のようになります。

   $$\overrightarrow{u}=(u_1,u_2)=B-A=(2,5)-(-1,3)=(3,2)$$

   直線の媒介変数表示は一般に $X=A+t\cdot \overrightarrow{u}$ の形なので、代入すると次の式が得られます。

   $$X=(-1,3)+t\cdot (3,2)$$

   これは次の連立方程式に書きかえられます。

   $$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& -1+3t\\ x_2& =& 3+2t\end{array}$$

   直線を表しているので、t ∈ ℝ です。図は少し下にあります。

2. 点 A を始点とし、点 B を通る半直線 r の媒介変数表示を求めなさい。同じ媒介変数表示を使い、媒介変数 t の範囲を制限するだけです。あとは、t ∈ [0, ∞) と t ∈ (−∞, 0] のどちらにするかを決めるだけです。

   方向ベクトルは有向線分 $\overrightarrow{AB}$ から求めたので、始点は A、終点は B です。求める半直線の始点も A なので、ちょうど都合のよい向きです。したがって、媒介変数の負の値で向きを逆にする必要はなく、媒介変数 t は0以上の範囲 t ∈ [0, ∞) からとります。

   この問題と前の問題を図に表すと、次のようになります。

   

3. 線分 AB の中点を求めなさい。方法は2つあります。1つは、点 A, B の座標を足して、その結果を2で割る方法です。やってみましょう。

   $$M=\frac{(-1,3)+(2,5)}{2}=\frac{(1,8)}{2}=(\frac{1}{2},4)$$

   同じ点は、方向ベクトルを使っても求められます。方向ベクトルは有向線分 $\overrightarrow{AB}$ から求めたので、$A+\overrightarrow{u}$ を計算すると点 B が得られます。そこで、A に方向ベクトルの半分を足せば、線分 AB の中点が得られます。

   $$M=A+\frac{1}{2}\overrightarrow{u}=(-1,3)+\frac{1}{2}(3,2)=(-1,3)+(\frac{3}{2},1)=(\frac{1}{2},4)$$

   同じ点になりました。図でも確かめておきましょう。