Afstand mellem to parallelle linjer

Mellem to parallelle linjer i planen kan vi definere en afstand.

Opgaven

Vi har to parallelle linjer, p: −x +3y − 16 = 0 og q: −x + 3y − 4 = 0. Hvordan finder vi afstanden mellem disse to linjer?

Afstanden mellem sådanne linjer kan vi let reducere til afstanden fra et punkt til en linje. Det er nok at vælge et punkt på den ene af linjerne og derefter beregne afstanden fra dette punkt til den anden linje.

På linjen q kan vi for eksempel vælge punktet A(8, 4). Ved at indsætte i ligningen for linjen q kontrollerer vi, at det virkelig er et punkt på denne linje:

$$\begin{array}{rcl}-x+3y-4& =& 0\\ -8+3\cdot 4-4& =& 0\\ -8+12-4& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

Nu beregner vi den nævnte afstand fra punktet A til linjen p. Til det har vi formlen

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{dist}(A,p)& =& \frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{array}$$

Vi indsætter altså blot:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{dist}(A,p)& =& \frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ \mathrm{dist}(A,p)& =& \frac{|-1\cdot 8+3\cdot 4-16|}{\sqrt{(-1{)}^2+3^2}}\\ & =& \frac{12}{\sqrt{10}}\approx \mathrm{3,795}\end{array}$$