点と平面の距離

点と平面の距離は、その点から平面に引いた「いちばん短い」線分の長さに等しくなります。

問題

一般形の方程式 r: 3x + 1y − 2z + 4 = 0 で表される平面と、点 X(5, 7, 2) があります。点 X と平面 r の距離はいくつでしょうか。図にかくと次のようになります。

図には、ある平面 ABCD と点 X があります。線分 XF の長さが、点 X と平面の距離です。この線分はやはり平面に垂直で、点から平面までのいちばん短い距離になります。（図は平面 r: 3x + 1y − 2z + 4 = 0 や点 X(5, 7, 2) そのものではなく、点と平面の距離を一般的に表したものです。）

公式を使う方法

点と直線の距離を計算したときとほぼ同じ公式が使えます。次元を1つ加えるだけです。点 X(x₁, x₂, x₃) と平面 r: ax + by + cz + d = 0 の距離は、次のように計算します。

$$d(X,r)=\frac{|a\cdot x_1+b\cdot x_2+c\cdot x_3+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

問題の平面 r と点 X(5, 7, 2) では、a = 3、b = 1、c = −2、d = 4 と x₁ = 5、x₂ = 7、x₃ = 2 を代入します。

$$\begin{array}{rcl}d(X,r)& =& \frac{|3\cdot 5+1\cdot 7-2\cdot 2+4|}{\sqrt{3^2+1^2+(-2{)}^2}}\\ & =& \frac{22}{\sqrt{14}}\fallingdotseq 5.880\end{array}$$