Abstand zweier paralleler Geraden

Zwischen zwei parallelen Geraden in der Ebene können wir einen Abstand definieren.

Aufgabe

Gegeben sind zwei parallele Geraden, p: −x +3y − 16 = 0 und q: −x + 3y − 4 = 0. Wie bestimmen wir den Abstand dieser beiden Geraden?

Den Abstand solcher Geraden können wir leicht auf den Abstand eines Punktes von einer Geraden zurückführen. Wir wählen einfach auf einer der Geraden einen Punkt und berechnen dann den Abstand dieses Punktes von der anderen Geraden.

Auf der Geraden q können wir den Punkt A(8 ∣ 4) wählen. Durch Einsetzen in die Gleichung der Geraden q überprüfen wir, dass er tatsächlich auf dieser Geraden liegt:

$$\begin{array}{rcl}-x+3y-4& =& 0\\ -8+3\cdot 4-4& =& 0\\ -8+12-4& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

Nun berechnen wir den erwähnten Abstand des Punktes A von der Geraden p. Dafür haben wir die Formel

$$\begin{array}{rcl}d(A;p)& =& \frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{array}$$

Wir setzen also nur ein:

$$\begin{array}{rcl}d(A;p)& =& \frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ d(A;p)& =& \frac{|-1\cdot 8+3\cdot 4-16|}{\sqrt{(-1{)}^2+3^2}}\\ & =& \frac{12}{\sqrt{10}}\approx \mathrm{3,795}\end{array}$$