Distance entre deux droites parallèles

Entre deux droites parallèles du plan, on peut définir une distance.

Énoncé

On considère deux droites parallèles, p: −x +3y − 16 = 0 et q: −x + 3y − 4 = 0. Comment calcule-t-on la distance entre ces deux droites ?

La distance entre de telles droites se ramène facilement à la distance d’un point à une droite. Il suffit de choisir un point sur l’une des droites, puis de calculer la distance de ce point à l’autre droite.

On choisit sur la droite q le point A(8 ; 4). En substituant dans l’équation de la droite q, on vérifie que c’est bien un point de cette droite :

$$\begin{array}{rcl}-x+3y-4& =& 0\\ -8+3\cdot 4-4& =& 0\\ -8+12-4& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

Calculons maintenant la distance du point A à la droite p. Pour cela, on dispose de la formule

$$\begin{array}{rcl}d(A,p)& =& \frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{array}$$

On n’a plus qu’à substituer :

$$\begin{array}{rcl}d(A,p)& =& \frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ d(A,p)& =& \frac{|-1\cdot 8+3\cdot 4-16|}{\sqrt{(-1{)}^2+3^2}}\\ & =& \frac{12}{\sqrt{10}}\approx \mathrm{3,795}\end{array}$$