Kahden yhdensuuntaisen suoran etäisyys

Kahden tason yhdensuuntaisen suoran välille voidaan määritellä etäisyys.

Tehtävänanto

Meillä on kaksi yhdensuuntaista suoraa, p: −x +3y − 16 = 0 ja q: −x + 3y − 4 = 0. Miten saamme selville näiden kahden suoran etäisyyden?

Tällaisten suorien etäisyyden voi helposti palauttaa pisteen etäisyyteen suorasta. Riittää valita jommaltakummalta suoralta jokin piste ja laskea tämän pisteen etäisyys toisesta suorasta.

Suoralta q voimme valita pisteen A = (8, 4). Sijoittamalla suoran q yhtälöön varmistamme, että se todella on tämän suoran piste:

$$\begin{array}{rcl}-x+3y-4& =& 0\\ -8+3\cdot 4-4& =& 0\\ -8+12-4& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

Nyt voimme laskea mainitun pisteen A etäisyyden suorasta p. Siihen meillä on kaava

$$\begin{array}{rcl}d(A,p)& =& \frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{array}$$

Sijoitetaan siis:

$$\begin{array}{rcl}d(A,p)& =& \frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ d(A,p)& =& \frac{|-1\cdot 8+3\cdot 4-16|}{\sqrt{(-1{)}^2+3^2}}\\ & =& \frac{12}{\sqrt{10}}\approx \mathrm{3,795}\end{array}$$