Distanza tra due rette parallele

Tra due rette parallele nel piano possiamo definire una distanza.

Dati

Abbiamo due rette parallele, p: −x +3y − 16 = 0 e q: −x + 3y − 4 = 0. Come troviamo la distanza tra queste due rette?

La distanza tra due rette di questo tipo si riduce facilmente alla distanza di un punto da una retta. Basta scegliere un punto su una delle rette e poi calcolare la distanza di questo punto dall’altra retta.

Sulla retta q possiamo scegliere il punto A(8; 4). Sostituendo nell’equazione della retta q verifichiamo che è davvero un punto di questa retta:

$$\begin{array}{rcl}-x+3y-4& =& 0\\ -8+3\cdot 4-4& =& 0\\ -8+12-4& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

Ora calcoliamo la già citata distanza del punto A dalla retta p. A questo scopo abbiamo la formula

$$\begin{array}{rcl}d(A,p)& =& \frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{array}$$

Quindi basta sostituire:

$$\begin{array}{rcl}d(A,p)& =& \frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ d(A,p)& =& \frac{|-1\cdot 8+3\cdot 4-16|}{\sqrt{(-1{)}^2+3^2}}\\ & =& \frac{12}{\sqrt{10}}\approx \mathrm{3,795}\end{array}$$