Разстояние между две успоредни прави

Между две успоредни прави в равнината можем да дефинираме разстояние.

Условие

Имаме две успоредни прави, p: −x +3y − 16 = 0 и q: −x + 3y − 4 = 0. Как да намерим разстоянието между тези две прави?

Разстоянието между такива прави можем лесно да сведем до разстояние от точка до права. Достатъчно е да изберем някаква точка на едната права и след това да пресметнем разстоянието от тази точка до другата права.

На правата q можем да изберем точката A(8; 4). Със заместване в уравнението на правата q проверяваме, че това наистина е точка от тази права:

$$\begin{array}{rcl}-x+3y-4& =& 0\\ -8+3\cdot 4-4& =& 0\\ -8+12-4& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

Сега вече пресмятаме споменатото разстояние от точката A до правата p. За това имаме формула

$$\begin{array}{rcl}d(A,p)& =& \frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{array}$$

Така че просто заместваме:

$$\begin{array}{rcl}d(A,p)& =& \frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ d(A,p)& =& \frac{|-1\cdot 8+3\cdot 4-16|}{\sqrt{(-1{)}^2+3^2}}\\ & =& \frac{12}{\sqrt{10}}\approx \mathrm{3,795}\end{array}$$