Distanța dintre două drepte paralele

Între două drepte paralele din plan putem defini o distanță.

Enunț

Avem două drepte paralele, p: −x +3y − 16 = 0 și q: −x + 3y − 4 = 0. Cum aflăm distanța dintre aceste două drepte?

Distanța dintre astfel de drepte o putem reduce ușor la distanța de la un punct la o dreaptă. Ne ajunge să alegem un punct oarecare pe una dintre drepte și apoi să calculăm distanța de la acest punct la cealaltă dreaptă.

Pe dreapta q putem alege punctul A(8, 4). Înlocuind în ecuația dreptei q, verificăm că este într-adevăr un punct al acestei drepte:

$$\begin{array}{rcl}-x+3y-4& =& 0\\ -8+3\cdot 4-4& =& 0\\ -8+12-4& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

Acum calculăm distanța amintită, distanța de la punctul A la dreapta p. Pentru aceasta avem formula

$$\begin{array}{rcl}d(A,p)& =& \frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{array}$$

Deci doar înlocuim:

$$\begin{array}{rcl}d(A,p)& =& \frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ d(A,p)& =& \frac{|-1\cdot 8+3\cdot 4-16|}{\sqrt{(-1{)}^2+3^2}}\\ & =& \frac{12}{\sqrt{10}}\approx \mathrm{3,795}\end{array}$$