Distancia entre dos rectas paralelas

Entre dos rectas paralelas en el plano podemos definir una distancia.

Enunciado

Tenemos dos rectas paralelas, p: −x +3y − 16 = 0 y q: −x + 3y − 4 = 0. ¿Cómo hallamos la distancia entre estas dos rectas?

La distancia entre estas rectas se reduce fácilmente a la distancia de un punto a una recta. Basta elegir un punto en una de las rectas y calcular la distancia de ese punto a la otra recta.

En la recta q podemos elegir el punto A(8, 4). Sustituyendo en la ecuación de la recta q comprobamos que es realmente un punto de esta recta:

$$\begin{array}{rcl}-x+3y-4& =& 0\\ -8+3\cdot 4-4& =& 0\\ -8+12-4& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

Ahora calculamos la mencionada distancia del punto A a la recta p. Para ello tenemos la fórmula

$$\begin{array}{rcl}d(A,p)& =& \frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{array}$$

Así que solo sustituimos:

$$\begin{array}{rcl}d(A,p)& =& \frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ d(A,p)& =& \frac{|-1\cdot 8+3\cdot 4-16|}{\sqrt{(-1{)}^2+3^2}}\\ & =& \frac{12}{\sqrt{10}}\approx \mathrm{3,795}\end{array}$$