Distância entre duas retas paralelas

Entre duas retas paralelas no plano podemos definir uma distância.

Enunciado

Temos duas retas paralelas, p: −x +3y − 16 = 0 e q: −x + 3y − 4 = 0. Como descobrimos a distância entre essas duas retas?

A distância entre retas assim pode ser facilmente reduzida à distância de um ponto a uma reta. Basta escolher um ponto em uma das retas e depois calcular a distância desse ponto à outra reta.

Na reta q podemos escolher o ponto A(8, 4). Substituindo na equação da reta q, conferimos que ele é realmente um ponto dessa reta:

$$\begin{array}{rcl}-x+3y-4& =& 0\\ -8+3\cdot 4-4& =& 0\\ -8+12-4& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

Agora já calculamos a mencionada distância do ponto A à reta p. Para isso temos a fórmula

$$\begin{array}{rcl}d(A,p)& =& \frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{array}$$

Então apenas substituímos:

$$\begin{array}{rcl}d(A,p)& =& \frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ d(A,p)& =& \frac{|-1\cdot 8+3\cdot 4-16|}{\sqrt{(-1{)}^2+3^2}}\\ & =& \frac{12}{\sqrt{10}}\approx \mathrm{3,795}\end{array}$$