Avstånd mellan två parallella linjer

Mellan två parallella linjer i planet kan vi definiera ett avstånd.

Uppgiften

Vi har två parallella linjer, p: −x +3y − 16 = 0 och q: −x + 3y − 4 = 0. Hur tar vi reda på avståndet mellan de två linjerna?

Avståndet mellan sådana linjer kan vi enkelt föra över till avståndet från en punkt till en linje. Det räcker att välja en punkt på den ena linjen och sedan beräkna avståndet från den punkten till den andra linjen.

På linjen q kan vi välja punkten A(8, 4). Genom att sätta in punkten i linjen q:s ekvation kontrollerar vi att den verkligen ligger på linjen:

$$\begin{array}{rcl}-x+3y-4& =& 0\\ -8+3\cdot 4-4& =& 0\\ -8+12-4& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

Nu beräknar vi det nämnda avståndet från punkten A till linjen p. För det har vi formeln

$$\begin{array}{rcl}d(A,p)& =& \frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{array}$$

Vi sätter alltså bara in:

$$\begin{array}{rcl}d(A,p)& =& \frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ d(A,p)& =& \frac{|-1\cdot 8+3\cdot 4-16|}{\sqrt{(-1{)}^2+3^2}}\\ & =& \frac{12}{\sqrt{10}}\approx \mathrm{3,795}\end{array}$$