Avstanden mellom to parallelle linjer

Mellom to parallelle linjer i planet kan vi definere en avstand.

Oppgaven

Vi har to parallelle linjer, p: −x +3y − 16 = 0 og q: −x + 3y − 4 = 0. Hvordan finner vi avstanden mellom disse to linjene?

Avstanden mellom slike linjer kan vi lett føre tilbake til avstanden fra et punkt til en linje. Det holder å velge et punkt på den ene linjen og så regne ut avstanden fra dette punktet til den andre linjen.

På linjen q kan vi velge punktet A(8, 4). Ved å sette inn i likningen for linjen q kontrollerer vi at det virkelig er et punkt på denne linjen:

$$\begin{array}{rcl}-x+3y-4& =& 0\\ -8+3\cdot 4-4& =& 0\\ -8+12-4& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

Nå kan vi regne ut den nevnte avstanden fra punktet A til linjen p. Til det har vi formelen

$$\begin{array}{rcl}d(A,p)& =& \frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{array}$$

Vi setter bare inn:

$$\begin{array}{rcl}d(A,p)& =& \frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ d(A,p)& =& \frac{|-1\cdot 8+3\cdot 4-16|}{\sqrt{(-1{)}^2+3^2}}\\ & =& \frac{12}{\sqrt{10}}\approx \mathrm{3,795}\end{array}$$