2直線の位置関係

平面上の2直線の位置関係は、全部で4つに分けられます。2直線は、平行であるか、1点で交わるか、垂直であるか、一致するかのどれかです。

方程式から位置関係を調べる

2直線の方程式がわかっているときは、その2つの方程式を連立させて解くだけです。起こりうるのは次の3つの場合です。

連立方程式が解をもたない：2直線に共有点がないので、2直線は平行です。
連立方程式の解がただ1組：2直線の共有点（交点）がちょうど1つなので、2直線は1点で交わります。
連立方程式の解が無数にある：2直線の共有点が無数にあるので、2直線は一致します。

この方法では、2直線が垂直かどうかはわからないことに注意しましょう。

2直線の3つの異なる位置関係

図には、平行な直線 a, b、1点で交わる直線 c, d、一致する直線 e, f があります。

例題を見てみましょう。

方程式 p: −x + 3y − 5 = 0 と q: 2x + 3y − 17 = 0 で表される直線 p と q の位置関係を調べなさい。2つの方程式で連立1次方程式をつくり、これを解きます。

$\begin{array}{rcl} - x + 3 y - 5 & = & 0 \\ 2 x + 3 y - 17 & = & 0 \end{array}$

1つ目の方程式の両辺に2をかけます。

$\begin{array}{rcl} - 2 x + 6 y - 10 & = & 0 \\ 2 x + 3 y - 17 & = & 0 \end{array}$

2つの方程式を足します。

$- 2 x + 6 y - 10 + (2 x + 3 y - 17) = 0$

あとの変形は簡単です。

$\begin{array}{rcl} - 2 x + 6 y - 10 + (2 x + 3 y - 17) & = & 0 \\ 6 y + 3 y - 10 - 17 & = & 0 \\ 9 y - 27 & = & 0 \\ y - 3 & = & 0 \\ y = 3 \end{array}$

さらに x を求めます。たとえば y = 3 を方程式 −x + 3y − 5 = 0 に代入します。

$\begin{array}{rcl} - x + 3 y - 5 & = & 0 \\ - x + 3 \cdot 3 - 5 & = & 0 \\ - x + 4 & = & 0 \\ x & = & 4 \end{array}$

連立方程式の解はただ1組、x = 4, y = 3 です。つまり、2直線は1点で交わり、その交点は X(4, 3) です。図は次のとおりです。
方程式 p: 2x + y − 8 = 0 で表される直線 p と、次の媒介変数表示で表される直線 q の位置関係を調べなさい。

$\begin{array}{rcl} x & = & 5 - t \\ y & = & 2 + 2 t \end{array}$

この場合は、直線の方程式の一般形が1つと、媒介変数表示が1つあります。一般形の x と y に媒介変数表示の値を代入して解きます。つまり、一般形の x に媒介変数表示の右辺を代入し、y についても同じようにします。すると、方程式が1つ得られます。

$\begin{array}{rcl} 2 x + y - 8 & = & 0 \\ 2 \cdot (5 - t) + (2 + 2 t) - 8 & = & 0 \end{array}$

あとはいつもどおりに方程式を変形します。

$\begin{array}{rcl} 2 \cdot (5 - t) + (2 + 2 t) - 8 & = & 0 \\ 10 - 2 t + 2 + 2 t - 8 & = & 0 \\ 12 - 8 + 2 t - 2 t & = & 0 \\ 4 & = & 0 \end{array}$

方程式は解をもたないので、2直線は共有点をもちません。したがって、直線 p と q は平行です。図は次のとおりです。
方程式 p: 3x + y − 10 = 0 と q: −9x −3y + 30 = 0 で表される直線 p と q の位置関係を調べなさい。2つ目の方程式が1つ目の方程式の −3 倍であることはひと目でわかるので、2直線は一致するはずです。しかし、計算してみましょう。連立方程式をつくります。

$\begin{array}{rcl} 3 x + y - 10 & = & 0 \\ - 9 x - 3 y + 30 & = & 0 \end{array}$

1つ目の方程式の両辺に 3 をかけます。

$\begin{array}{rcl} 9 x + 3 y - 30 & = & 0 \\ - 9 x - 3 y + 30 & = & 0 \end{array}$

2つの方程式を足します。

$\begin{array}{rcl} 9 x + 3 y - 30 + (- 9 x - 3 y + 30) & = & 0 \\ 9 x - 9 x + 3 y - 3 y + 30 - 30 & = & 0 \\ 0 & = & 0 \end{array}$

連立方程式の解は無数にあり、2直線の共有点も無数にあるので、2直線は一致します。図は次のとおりです。

方向ベクトルと法線ベクトルから位置関係を調べる

方向ベクトルか法線ベクトルがわかっていれば、2直線の位置関係を調べられます。このとき、次のことが成り立ちます。

方向ベクトルが平行（1次従属）なら、2直線は平行か一致します。
方向ベクトルが平行でない（1次独立）なら、2直線は1点で交わります。
方向ベクトルの内積が0なら、2直線は垂直です。

これらは法線ベクトルについても同じように成り立ちます。つまり、法線ベクトルが平行なら、2直線は平行か一致する、などです。

前の節の3つの例題を、方向ベクトルと法線ベクトルを使って解いてみましょう。

方程式 p: −x + 3y − 5 = 0 と q: 2x + 3y − 17 = 0 で表される直線 p と q の位置関係を調べなさい。直線 p の法線ベクトルは $\vec{u} = (- 1, 3)$ 、直線 q の法線ベクトルは $\vec{v} = (2, 3)$ です。ベクトル $\vec{u}, \vec{v}$ は1次従属ではないので、平行ではありません。 $a \cdot \vec{u} = \vec{v}$ となる a ∈ ℝ は存在しません。したがって、2直線は1点で交わります。

さらに、2直線が垂直かどうかを確かめるため、内積を計算します。法線ベクトルの内積は次のとおりです。

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (u_{1} \cdot v_{1} + u_{2} \cdot v_{2}) = - 2 + 9 = 7$

内積は0ではないので、2直線は垂直ではありません。
方程式 p: 2x + y − 8 = 0 で表される直線 p と、次の媒介変数表示で表される直線 q の位置関係を調べなさい。

$\begin{array}{rcl} x & = & 5 - t \\ y & = & 2 + 2 t \end{array}$

媒介変数表示からは、直線 q の方向ベクトルがすぐに読み取れます。方向ベクトルは媒介変数 t の係数と同じなので、直線 q の方向ベクトルは $\vec{v} = (- 1, 2)$ です。一方、直線 p の一般形からは法線ベクトル $\vec{n} = (2, 1)$ （x と y の係数）がすぐに読み取れます。法線ベクトルから方向ベクトル $\vec{u} = (1, - 2)$ が得られます。

（成分を入れかえ、一方の成分に −1 をかけただけです。ベクトル (2, 1) と (1, −2) の内積は0なので、(2, 1) が法線ベクトルなら、(1, −2) は方向ベクトルです。）

直線 p の方向ベクトルは直線 q の方向ベクトルの −1 倍で、 $- 1 \cdot \vec{v} = \vec{u}$ が成り立ちます。したがって、2直線の方向ベクトルは平行で、直線 p と q は平行か一致します。

次に、2直線が平行なのか一致するのかを調べます。直線 q 上の点 A を1つとり、直線 p を表す方程式に代入すれば十分です。方程式が成り立てば2直線は一致し、成り立たなければ一致はせず、平行です。

直線 q の媒介変数表示で、媒介変数 t に0を代入します。すると次のようになります。

$\begin{array}{rcl} x & = & 5 - 0 = 5 \\ y & = & 2 + 2 \cdot 0 = 2 \end{array}$

直線 q 上に確かにある点 A(5, 2) が得られました。この座標を一般形 p: 2x + y − 8 = 0 に代入します。

$\begin{array}{rcl} 2 x + y - 8 & = & 0 \\ 2 \cdot 5 + 2 - 8 & = & 0 \\ 12 - 8 & = & 0 \\ 4 & = & 0 \end{array}$

この点は方程式を満たさないので、点 A(5, 2) は直線 p 上になく、2直線は一致しません。
方程式 p: −x + 3y − 6 = 0 と q: 3x + y − 14 = 0 で表される直線 p と q の位置関係を調べなさい。この例は、前の節の3つ目の例とは違います。2つの方程式から、両方の直線の法線ベクトルが読み取れます。法線ベクトルは ${\vec{n}}_{p} = (- 1, 3)$ と ${\vec{n}}_{q} = (3, 1)$ です。法線ベクトルは1次従属でも平行でもなく、 $a \cdot {\vec{n}}_{p} = {\vec{n}}_{q}$ となる実数 a は存在しません。

次に、2直線が垂直かどうかを調べます。内積を計算します。

${\vec{n}}_{p} \cdot {\vec{n}}_{q} = (- 1, 3) \cdot (3, 1) = - 3 + 3 = 0$

内積は0になったので、2つの法線ベクトルは垂直です。したがって、2直線も垂直です。図は次のとおりです。

2直線の交点を求めたいときは、方程式から計算する必要があります。一般形から連立方程式をつくります。

$\begin{array}{rcl} - x + 3 y - 6 & = & 0 \\ 3 x + y - 14 & = & 0 \end{array}$

1つ目の方程式の両辺に −3 をかけます。

$\begin{array}{rcl} - 3 x + 9 y - 18 & = & 0 \\ 3 x + y - 14 & = & 0 \end{array}$

ここで2つの方程式を足し、さらに変形します。

$\begin{array}{rcl} - 3 x + 9 y - 18 + (3 x + y - 14) & = & 0 \\ 9 y + y - 18 - 14 & = & 0 \\ 10 y - 32 & = & 0 \\ y = \frac{32}{10} = \frac{16}{5} \end{array}$

x 座標は、どちらかの方程式、たとえば −x + 3y − 6 = 0 に代入して求めます。

$\begin{array}{rcl} - x + 3 y - 6 & = & 0 \\ - x + 3 \cdot \frac{16}{5} - 6 & = & 0 \\ - x + \frac{48}{5} - \frac{30}{5} & = & 0 \\ - x + \frac{18}{5} & = & 0 \\ x & = & \frac{18}{5} \end{array}$

2直線の交点の座標は $P (\frac{18}{5}, \frac{16}{5})$ です。

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