Két párhuzamos egyenes távolsága

Két síkbeli párhuzamos egyenes között definiálhatunk távolságot.

Feladat

Adott két párhuzamos egyenes, p: −x +3y − 16 = 0 és q: −x + 3y − 4 = 0. Hogyan állapítjuk meg e két egyenes távolságát?

Az ilyen egyenesek távolságát könnyen visszavezethetjük pont és egyenes távolságára. Elég az egyik egyenesen választani egy pontot, és kiszámítani ennek a pontnak a távolságát a másik egyenestől.

A q egyenesen választhatjuk az A(8; 4) pontot. A q egyenes egyenletébe való behelyettesítéssel ellenőrizzük, hogy valóban ennek az egyenesnek a pontja:

$$\begin{array}{rcl}-x+3y-4& =& 0\\ -8+3\cdot 4-4& =& 0\\ -8+12-4& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

Most már kiszámíthatjuk a szóban forgó A pont és a p egyenes távolságát. Erre van egy képletünk:

$$\begin{array}{rcl}t(A,p)& =& \frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{array}$$

Tehát csak behelyettesítünk:

$$\begin{array}{rcl}t(A,p)& =& \frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ t(A,p)& =& \frac{|-1\cdot 8+3\cdot 4-16|}{\sqrt{(-1{)}^2+3^2}}\\ & =& \frac{12}{\sqrt{10}}\approx \mathrm{3,795}\end{array}$$