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1 + 2 + 5 · 0はいくつ？　かけ算を先にする計算の順序

SNSでは、これに似たクイズがたびたび話題になります。次の式の答えはいくつでしょうか。

1+2+5⋅0=?

いっしょに計算してみましょう。

  • 1たす2は3です。
  • 3たす5は8です。
  • 最後に、8かける0は0です。

こんなふうに計算しましたか。残念ながら、二人ともまちがえてしまいました ‼️‼️‼️　学校で習うおなじみの決まり、かけ算は足し算より先に計算することを忘れていました。これはどういうことでしょうか。

1つの式に足し算とかけ算の両方があるときは、まずかけられるものをすべてかけ算し、そのあとで足し算にもどります。この例では、まず 5 · 0 を計算し、式のほかの部分は気にしません。5かける0は0です。この0を式にもどして書きます。

1+2+5⋅0=1+2+0

これで、足し算だけの式になりました。あとは簡単で、1 + 2 + 0 は3です。つまり、

1+2+5⋅0=3

となります。

別の例を見てみましょう。次の式はいくつでしょうか。

1+2⋅3+4=?

ここでも、まずかけ算を計算し、足し算はあとにまわすという決まりにしたがいます。まず 2 · 3 を計算すると、6になります。

1+2⋅3+4=1+6+4

これで式は足し算だけになったので、あとは簡単です。

1+6+4=11

電卓だと答えがちがうのはなぜか

同じ問題を電卓で計算してみると、最初に 1 + 2 + 5 · 0 を計算したときと同じ、まちがった答えが出ることがあります。なぜでしょうか。理由は大きく分けて2つあります。電卓が計算の順序を知らないか、計算のとちゅうで「=」のボタンを押しているかです。例えば、電卓のボタンを次のように押したとします。

  • [1] [+] [2] [=] → 電卓には3と表示されます。
  • [+] [5] [=] → 電卓には8と表示されます。
  • [×] [0] [=] → 電卓には0と表示されます。

これでは、上の問題を計算したことになりません。「=」を押したことで、1つの式ではなく、関係のない3つの式を別々に計算してしまったからです。最後のステップで電卓が計算しているのは「8かける0」という式で、その答えは確かに0です。電卓の表示は正しいのです。このとき電卓は、その前に先に計算すべきかけ算があったことを知りません。

「=」を押さずに、問題全体を

  • [1] [+] [2] [+] [5] [×] [0]

と入力したのに、それでも電卓に0と表示されるなら、その電卓は計算の順序に対応していません。これは十分にありえることです（多くの一般的な電卓は、入力した順に計算します）。その場合は、Googleで計算を確かめてみましょう。Googleは検索だけでなく、計算も得意です。

計算の順序を変える方法：かっこ

計算の順序を変えたいときは、かっこを使います。例えば、次の式があるとします。

1+2⋅5

先に 1 + 2 を計算し、その結果に5をかけたいときは、次のようにかっこを使います。

(1+2)⋅5

かっこの中の式は、ふつうの計算の順序より優先されます。そのため、まず1 + 2を計算し、かけ算はそのままにしておきます。すると、次の式が得られます。

(1+2)⋅5=3⋅5

これは15です。つまり、

(1+2)⋅5=15.

割り算と引き算は？

引き算は足し算と同じ、割り算はかけ算と同じあつかいです。つまり、かけ算と割り算は、足し算と引き算より先に計算します。かけ算と割り算の優先順位は同じで、足し算と引き算の優先順位も同じです。

例として、次の式を見てみましょう。

1+2⋅3−8÷4

この式は、計算の順序が変わらないようにかっこを書き加えた次の式と同じです。

1+(2⋅3)−(8÷4)

したがって、

1+(2⋅3)−(8÷4)=1+6−2

となり、これは次のようになります。

1+6−2=5.

かけ算と割り算が続けて出てくるときは、左から順に計算します。

6⋅4÷8

まず 6 · 4 を計算すると、24になります。割り算はまだそのままにしておきます。

6⋅4÷8=24÷8

あとは24を8で割るだけです。

24÷8=3.

かけ算を足し算より先に計算する理由

そもそも、なぜかけ算を足し算より先に計算するのでしょうか。よい質問です。実は、数学者たちがそう決めたという以外に理由はない、といってよいでしょう。かけ算を先に計算しなければならないことが明らかになるような法則は、どこにもありません。足し算のほうがかけ算より先でも、数学全体はまったく同じように成り立ちます。また、どちらも同じ優先順位にして、電卓をたたいたときのようにいつも左から順に計算することにしても、問題はありません。

一方で、もし足し算のほうが先だったら、かっこがもっとたくさん必要になります。例えば、2次関数の少し複雑な式で考えてみましょう。

3x2+4x+5

今の数学では、この式は「3かける x の2乗」に「4かける x」を足し、さらに「5」を足すという意味です。もし足し算がかけ算より先だったら、同じ式を表すためにかっこを使わなければなりません。

(3x2)+(4x)+5

このような式は数学でとてもよく使うので、かけ算を足し算より先に計算するほうが、数学者にとって便利なのです。それでも、どうしてもこうでなければならないという理由があるわけではありません。

もっと知りたい場合は、オリガ・コシェレワとウラジク・クレイノビッチによる論文「Why Multiplication Has Higher Priority than Addition: A Pedagogical Remark」（英語）を読んでみてください。

かっこを使うほうがよいのでは？

多くの場合、そのとおりです。かけ算と足し算の計算の順序を知らない人はたくさんいるので、

1+2⋅3+4

のような簡単な式でも、誤解されることがあります。式で伝えたいことを正しく理解してもらいたいなら、式にかっこを書き加えてしまいましょう。

1+(2⋅3)+4