Cât face 1 + 2 + 5 · 0? Despre prioritatea înmulțirii

Din când în când circulă pe rețelele sociale o ghicitoare ca asta. Cu ce număr este egală expresia de mai jos?

$1 + 2 + 5 \cdot 0 = ?$

Hai să o calculăm împreună:

Unu plus doi fac trei.
Trei plus cinci fac opt.
Iar în sfârșit, opt ori zero fac zero.

Ai calculat și tu așa, odată cu mine? Din păcate, am greșit amândoi ‼️‼️‼️ Am uitat de regula clasică învățată la școală: înmulțirea are prioritate față de adunare. Ce înseamnă asta?

Dacă într-o expresie avem și adunare, și înmulțire, mai întâi facem toate înmulțirile, iar abia apoi ne întoarcem la adunare. În cazul nostru, asta înseamnă că întâi înmulțim 5 · 0 și ignorăm tot ce mai e în expresie. Cinci ori zero face zero. Scriem acest zero înapoi în expresie:

$1 + 2 + 5 \cdot 0 = 1 + 2 + 0$

Acum am obținut o expresie în care apare doar adunarea, iar acolo e simplu: 1 + 2 + 0 este egal cu trei. Deci

$1 + 2 + 5 \cdot 0 = 3$

Alt exemplu. Cu ce este egală expresia următoare?

$1 + 2 \cdot 3 + 4 = ?$

Din nou, se aplică regula: rezolvăm mai întâi înmulțirea și lăsăm adunările în pace. Întâi calculăm 2 · 3, adică 6:

$1 + 2 \cdot 3 + 4 = 1 + 6 + 4$

Acum avem în expresie doar adunări, iar asta e ușor:

$1 + 6 + 4 = 11$

De ce pe calculatorul de buzunar iese altceva?

Dacă încerci aceleași exemple pe un calculator de buzunar, poate să-ți iasă același rezultat greșit ca atunci când am calculat prima dată 1 + 2 + 5 · 0. Cum e posibil? Sunt în esență două variante: fie calculatorul nu cunoaște prioritatea operațiilor, fie apeși tasta egal în mijlocul calculului. Dacă apeși butoanele așa:

[Unu] [plus] [doi] [egal] -> calculatorul afișează 3,
[plus] [cinci] [egal] -> calculatorul afișează 8,
[ori] [zero] [egal] -> calculatorul afișează 0.

atunci, de fapt, nu ai calculat exemplul dat mai sus, pentru că, apăsând „egal”, ai calculat în loc de o singură expresie trei expresii diferite, fără legătură între ele. În ultimul pas calculatorul pur și simplu calculează „opt ori zero”, iar asta chiar este zero, deci calculatorul îți arată corect. Doar că în acel moment nu știe că mai înainte a fost o înmulțire, care ar fi trebuit să aibă prioritate.

Dacă nu apeși „egal”, ci introduci tot exemplul ca

[Unu] [plus] [doi] [plus] [cinci] [ori] [zero]

iar calculatorul tot zero afișează, atunci calculatorul tău nu cunoaște prioritatea operațiilor, ceea ce este foarte posibil. În acest caz poți verifica calculul pe Google, pentru că, în afară de căutare, știe și să calculeze foarte bine:

1 + 2 + 5 · 0 pe Google
1 + 2 + 5 · 0 pe WolframAlpha (WolframAlpha este un instrument online cunoscut pentru calcularea tot felul de exemple; poți rezolva acolo ecuații, derivate, integrale…)

Cum schimbăm prioritatea firească a operațiilor: parantezele

Dacă vrem să schimbăm prioritatea operațiilor, putem folosi parantezele. Dacă avem expresia

$1 + 2 \cdot 5$

și vrem să adunăm mai întâi 1 + 2 și abia apoi să înmulțim rezultatul cu cinci, putem folosi parantezele așa:

$(1 + 2) \cdot 5$

Expresiile din paranteze au prioritate față de ordinea obișnuită a operațiilor. Deci am calcula primul 1 + 2 și am lăsa înmulțirea așa cum e. Am obține:

$(1 + 2) \cdot 5 = 3 \cdot 5$

adică cincisprezece. Prin urmare

$(1 + 2) \cdot 5 = 15.$

Și ce se întâmplă cu împărțirea și scăderea?

Scăderea se comportă la fel ca adunarea, iar împărțirea la fel ca înmulțirea. Așadar, înmulțirea și împărțirea au prioritate față de adunare și scădere. Înmulțirea și împărțirea au între ele aceeași prioritate, la fel și adunarea cu scăderea.

Ca exemplu, să ne uităm la expresia

$1 + 2 \cdot 3 - 8 : 4$

Ea este identică cu cea de mai jos, în care adăugăm paranteze astfel încât prioritatea operațiilor să nu se schimbe:

$1 + (2 \cdot 3) - (8 : 4)$

Deci

$1 + (2 \cdot 3) - (8 : 4) = 1 + 6 - 2$

ceea ce este egal cu

$1 + 6 - 2 = 5.$

Dacă avem înmulțirea și împărțirea una după alta, le calculăm de la stânga la dreapta, în ordinea în care apar:

$6 \cdot 4 : 8$

Mai întâi calculăm 6 · 4, adică 24. La împărțire deocamdată nu ne atingem:

$6 \cdot 4 : 8 = 24 : 8$

Iar acum nu mai rămâne decât să împărțim 24 la opt:

$24 : 8 = 3.$

De ce are înmulțirea prioritate față de adunare

Te-ai putea întreba de ce, de fapt, are înmulțirea prioritate față de adunare. Și e o întrebare bună! Se poate spune că în spatele ei nu stă nimic altceva decât o convenție a matematicienilor, că așa să fie. Nu există nicio regulă din care să reiasă că înmulțirea trebuie să aibă prioritate. Toată matematica ar funcționa la fel de bine și dacă adunarea ar avea prioritate mai mare decât înmulțirea. Sau dacă ar avea aceeași prioritate și am merge mereu de la stânga la dreapta, ca atunci când apăsam butoanele calculatorului.

Pe de altă parte, dacă adunarea ar avea prioritate, ar fi nevoie de mai multe paranteze. Să vedem asta pe o expresie ceva mai complicată, a unei funcții de gradul al doilea:

$3 x^{2} + 4 x + 5$

În matematica de azi, această expresie înseamnă „de trei ori x la pătrat”, adunat cu „de patru ori x”, adunat încă cu „cinci”. Dacă adunarea ar avea prioritate față de înmulțire, ar trebui să folosim paranteze ca să obținem aceeași expresie:

$(3 x^{2}) + (4 x) + 5$

Pentru că folosim destul de des în matematică această expresie și altele asemănătoare, este mai practic pentru matematicieni ca înmulțirea să aibă prioritate față de adunare. Nu există însă niciun motiv din care să rezulte limpede că trebuie să fie tocmai așa și nu altfel.

Dacă te interesează mai mult, poți citi articolul Why Multiplication Has Higher Priority than Addition: A Pedagogical Remark (în engleză), ai cărui autori sunt Olga Kosheleva și Vladik Kreinovich.

Nu e mai bine să folosim paranteze?

Deseori da. Foarte mulți oameni nu știu cum funcționează prioritatea înmulțirii și a adunării, așa că o expresie atât de simplă ca

$1 + 2 \cdot 3 + 4$

poate fi înțeleasă greșit. Dacă vrei să crești șansele ca ceilalți să înțeleagă ce vrei să spui prin notația matematică, pur și simplu adaugă paranteze în expresie:

$1 + (2 \cdot 3) + 4$

« Anterior: Cum se calculează eficacitatea vaccinării?

Următor: Problema mileniului: P versus NP »