2次関数

2次関数とは、a, b, c を実数、a ≠ 0 として、式 f(x) = ax² + bx + c で表される関数です。1次関数のグラフがいつも直線であるのと同じように、2次関数のグラフはいつも放物線です。

2次関数の例

簡単な2次関数の例として、f(x) = x² + 3x − 7 があります。この関数のグラフは次のようになります。

2次関数は、一般に ax² + bx + c と書けます。項 ax² を2次の項といい、どの2次関数にもこの項がなければなりません。次の項 bx は1次の項といい、2次関数になくてもかまいません。つまり、0でもよいのです。たとえば、関数 f(x) = 5x² + 7 も2次関数です。最後の項 c は定数項といい、これもなくてもかまいません。関数 f(x) = x² + 3x − 7 では、次のようになります。

$$a=1,b=3,c=-7$$

なぜ a は1なのでしょうか。x² という書き方は、じつは 1 · x² を表しているので、a = 1 になるのです。

2次関数の性質

まず定義域です。2次関数の定義域は ℝ、つまり実数全体の集合です。値域は関数によってちがいますが、いつも（正または負の）無限大まで広がっています。また、2次関数は、頂点の片側ではいつも増加し、反対側では減少します。1次の項が0（b = 0）なら、2次関数は偶関数です。2次関数はけっして1対1の関数にはなりません。

上に有界か下に有界か

2次関数は、いつも上に有界か下に有界のどちらかです。どちらになるかは、係数 a だけで決まります。係数 a が正なら、グラフは「上に向かってのび」、文字「U」のような形になります。したがって、グラフは下に有界です。例は関数 f(x) = 2x² で、グラフは次のとおりです。

関数の値（赤い点）はすべて −1 より上にあるので、この関数は下に有界です。関数 f(x) = −2x² ならどうでしょうか。

今度は、関数の値がすべて 1 より下にあるので、この関数は上に有界です。

凸の向き

グラフの凸の向きも、係数 a によって決まります。2次関数のグラフが文字「U」の形なら下に凸、「U」を逆さまにした形なら上に凸です。したがって、a > 0 ならグラフは下に凸、a < 0 なら上に凸です。

係数 a は、グラフの開き具合にも影響します。値が0に近いほどグラフは広がり、0から遠いほどせまくなります。

x 軸、y 軸との共有点

関数のグラフと x 軸や y 軸との共有点を求めるには、簡単な方程式を立てて解くだけです。関数は y = ax² + bx + c の形に書けることに注意しましょう。つまり、x = 2 における y 座標を知りたければ、すべての x に2を代入すればよいのです。

たとえば関数 y = x² − 4x + 3 では、x = 2 のとき y 座標は 2² − 4 · 2 + 3 = −1 になります。したがって、グラフは点 (2, −1) を通ります。x 軸との共有点を求めたいときは、y = 0 になるときの x の値を調べればよいのです。x 軸との共有点は、y 座標がいつも0です。次のグラフを見れば、よくわかるでしょう。

そこで、y = x² − 4x + 3 の y に0を代入して、方程式を解きます。得られた解が、共有点の x 座標です。

$$x^2-4x+3=0$$

これは2次方程式なので、ふつうの方法で解けます。たとえば (x − 1) · (x − 3) と因数分解すると、解は x₁ = 1 と x₂ = 3 だとわかります。

y 軸との共有点も同じように求めます。y = x² − 4x + 3 で、今度は x に0を代入します。つまり、x = 0 における関数の値を求めるのです。

$$0^2-4\cdot 0+3=3$$

したがって、x 軸との共有点は (1, 0) と (3, 0)、y 軸との共有点は (0, 3) です。

頂点の座標の求め方

2次関数では、頂点を求めることもとても大切です。わりと複雑な公式を覚えなくてもすむように、ここでは平方完成を使う別の方法を紹介します。2次関数の頂点とは、関数が最小値または最大値をとる点です。関数 f(x) = x² − 4x + 3 のグラフは次のようになります。

この関数の頂点は点 (2, −1) です。

2次関数の標準的な書き方は f(x) = ax² + bx + c です。a = 1 のとき、この関数を g(x) = (x + m)² + n の形に変形します。このとき、(−m, n) が2次関数の頂点になります。この例では、(x − 2)² − 1 の形にしたいわけです。どうすればこの形になるでしょうか。

まず、かっこ (x + m) だけを書き、mに2次関数の係数 b の半分の値を入れます。係数 b はマイナス4なので、その半分はマイナス2です。こうして (x − 2)² が得られます。

次の段階では、よけいな部分を引かなければなりません。このかっこを展開しても、正しい結果、つまりもとの関数にはなりません。かっこから、さらに m の2乗を引き、もとの関数の係数 c をたす必要があります。

具体的には、かっこから (−2)² を引き、3（係数 c）をたします。

$$(x-2{)}^2-4+3$$

整理すると、次のようになります。

$$(x-2{)}^2-1,$$

これが最終的な結果です。関数が (x + m)² + n の形で m = −2, n = −1 なので、頂点の座標は (−m, n)、つまり (2, −1) です。

計算が正しいかどうか、確かめておきましょう。2次関数 x² − 4x + 3 を (x − 2)² − 1 の形に変形しただけなので、この新しい形も同じ関数を表しているはずです。かっこを展開すれば、もとの関数の形にもどるはずです。(x − 2)² − 1 を展開してみましょう。

$$\begin{array}{rcl}(x-2{)}^2-1& =& (x-2)\cdot (x-2)-1\\ & =& x^2-4x+4-1\\ & =& x^2-4x+3\end{array}$$

同じ関数が得られたので、変形は正しくできています。