Wie viel ist 1 + 2 + 5 · 0? Oder: Punkt vor Strich
Ständig kursiert in sozialen Netzwerken ein Rätsel wie dieses. Welcher Zahl ist dieser Term gleich?
Rechnen wir es also gemeinsam aus:
- Eins plus zwei ist gleich drei.
- Drei plus fünf ist gleich acht.
- Und schließlich acht mal null ist gleich null.
Hast du mit mir so gerechnet? Leider haben wir beide falsch gerechnet ‼️‼️‼️ Wir haben nämlich die klassische Schulregel vergessen: Punkt vor Strich, also die Multiplikation hat Vorrang vor der Addition. Was bedeutet das?
Wenn wir in einem Term sowohl Addition als auch Multiplikation haben, multiplizieren wir zuerst alles, was sich multiplizieren lässt, und erst danach kehren wir zur Addition zurück. In unserem Fall bedeutet das, dass wir zuerst 5 · 0 multiplizieren und alles andere, was im Term steht, ignorieren. Fünf mal null ist null. Diese Null schreiben wir zurück in den Term:
Und jetzt erhalten wir einen Term, in dem nur noch addiert wird. Da ist es einfach, 1 + 2 + 0 ist gleich drei. Also
Ein anderes Beispiel. Was ergibt das hier?
Wieder gilt die Regel, dass wir als Erstes die Multiplikation lösen und die Addition in Ruhe lassen. Als Erstes lösen wir also 2 · 3, das ist 6:
Und jetzt haben wir im Term nur noch Additionen, das ist einfach:
Warum kommt auf dem Taschenrechner etwas anderes heraus?
Wenn du dieselben Beispiele auf dem Taschenrechner nachrechnest, kann dasselbe falsche Ergebnis herauskommen wie bei unserer ersten Rechnung von 1 + 2 + 5 · 0. Wie ist das möglich? Es gibt im Grunde zwei Möglichkeiten: Entweder kennt der Taschenrechner die Operatorrangfolge nicht, oder du drückst während der Rechnung die Gleichheitstaste. Wenn du nämlich auf dem Taschenrechner die Tasten so drückst:
- [Eins] [plus] [zwei] [gleich] -> der Taschenrechner zeigt 3 an,
- [plus] [fünf] [gleich] -> der Taschenrechner zeigt 8 an,
- [mal] [null] [gleich] -> der Taschenrechner zeigt 0 an.
Dann hast du in Wirklichkeit nicht die oben gestellte Aufgabe gerechnet, denn dadurch, dass du „gleich“ gedrückt hast, hast du statt eines Terms drei verschiedene, voneinander unabhängige Terme berechnet. Im letzten Schritt rechnet der Taschenrechner einfach den Term „acht mal null“, und das ist schlicht null, das zeigt dir der Taschenrechner richtig an. Der Taschenrechner weiß in diesem Moment nicht, dass da vorher eine Multiplikation stand, die Vorrang haben sollte.
Wenn du nicht „gleich“ drückst, sondern die ganze Aufgabe als
- [Eins] [plus] [zwei] [plus] [fünf] [mal] [null]
eingegeben hast und der Taschenrechner trotzdem null anzeigt, dann kennt dein Taschenrechner die Operatorrangfolge nicht, was durchaus möglich ist. In diesem Fall kannst du die Rechnung mit Google überprüfen, denn neben der Suche kann es auch gut rechnen:
- 1 + 2 + 5 · 0 bei Google
- 1 + 2 + 5 · 0 bei WolframAlpha (WolframAlpha ist ein bekanntes Online-Werkzeug zur Berechnung aller möglichen Aufgaben, du kannst dort Gleichungen, Ableitungen, Integrale lösen …)
Wie man die natürliche Rangfolge der Operatoren ändert: Klammern
Wenn wir die Rangfolge der Operatoren ändern wollen, können wir dazu Klammern verwenden. Wenn wir den Term
hätten und zuerst 1 + 2 addieren und erst das Ergebnis mit fünf multiplizieren wollten, können wir dazu Klammern so verwenden:
Terme in Klammern haben Vorrang vor der gewöhnlichen Rangfolge der Operatoren. Als Erstes würden wir also 1 + 2 berechnen und die Multiplikation so lassen, wie sie ist. Wir erhielten:
das ist gleich fünfzehn. Also
Und was ist mit Division und Subtraktion?
Die Subtraktion verhält sich genauso wie die Addition und die Division genauso wie die Multiplikation. Also haben Multiplikation und Division Vorrang vor Addition und Subtraktion. Multiplikation und Division haben untereinander denselben Rang, ebenso Addition und Subtraktion.
Schauen wir uns als Beispiel diesen Term an
Dieser Term ist identisch mit diesem, in den wir Klammern so einfügen, dass sich die Rangfolge der Operatoren nicht ändert:
Und somit
das ist gleich
Wenn Multiplikation und Division direkt aufeinander folgen, rechnen wir sie von links nach rechts, so wie sie uns unterkommen:
Zuerst berechnen wir 6 · 4, das ist 24. Die Division lassen wir vorerst in Ruhe:
Und jetzt teilen wir nur noch 24 durch acht:
Warum hat die Multiplikation Vorrang vor der Addition
Du könntest fragen, warum die Multiplikation eigentlich Vorrang vor der Addition hat. Und das ist eine gute Frage! Man kann sagen, dass dahinter nichts anderes steht als die Übereinkunft der Mathematiker, dass es so sein soll. Es gibt keine Regel, aus der offensichtlich wäre, dass die Multiplikation Vorrang haben muss. Die ganze Mathematik würde genauso gut funktionieren, auch wenn die Addition einen höheren Rang hätte als die Multiplikation. Oder wenn beide denselben Rang hätten und wir immer von links nach rechts vorgehen würden, so wie wir es auf dem Taschenrechner eingetippt haben.
Andererseits bräuchten wir, wenn die Addition Vorrang hätte, mehr Klammern. Zeigen wir es an einem etwas komplizierteren Term einer quadratischen Funktion:
In der heutigen Mathematik bedeutet dieser Term „drei mal x zum Quadrat“, wozu wir „vier mal x“ und dann noch „fünf“ addieren. Hätte die Addition Vorrang vor der Multiplikation, müssten wir Klammern verwenden, um denselben Term zu erhalten:
Da wir diesen Term und ähnliche in der Mathematik recht oft verwenden, ist es für Mathematiker praktischer, wenn die Multiplikation Vorrang vor der Addition hat. Es gibt aber keinen Grund, aus dem eindeutig folgen würde, dass es gerade so sein muss und nicht anders.
Wenn dich das mehr interessiert, kannst du den Artikel Why Multiplication Has Higher Priority than Addition: A Pedagogical Remark lesen, dessen Autoren Olga Kosheleva und Vladik Kreinovich sind.
Ist es nicht besser, Klammern zu verwenden?
Oft ja. Viele Leute wissen nicht, wie der Vorrang von Multiplikation und Addition funktioniert, und selbst ein so einfacher Term wie
kann falsch verstanden werden. Wenn du die Chancen erhöhen willst, dass die Leute verstehen, was du mit der mathematischen Schreibweise sagen möchtest, füge dem Term einfach Klammern hinzu:
