Hvad er 1 + 2 + 5 · 0? Om regnearternes hierarki
Med jævne mellemrum cirkulerer der på de sociale medier en gåde, der ligner denne. Hvad er dette udtryk lig med?
Lad os regne det ud sammen:
- Et plus to er lig med tre.
- Tre plus fem er lig med otte.
- Og endelig er otte gange nul lig med nul.
Regnede du sådan med mig? Desværre regnede vi begge forkert ‼️‼️‼️ Vi glemte nemlig den klassiske skoleregel: gange går forud for plus. Hvad betyder det?
Hvis vi har både addition og multiplikation i det samme udtryk, ganger vi først alt, hvad der kan ganges, og først derefter vender vi tilbage til additionen. I vores tilfælde betyder det, at vi først ganger 5 · 0 og ignorerer alt det andet, vi har i udtrykket. Fem gange nul er nul. Dette nul skriver vi tilbage i udtrykket:
Og nu får vi et udtryk, hvor der kun er addition. Dér er det let, 1 + 2 + 0 er lig med tre. Altså
Et andet eksempel. Hvad er dette lig med?
Igen gælder reglen, at vi først løser multiplikationen og lader additionen være. Først løser vi altså 2 · 3, som er 6:
Og nu har vi kun addition i udtrykket, og det er let:
Hvorfor bliver resultatet anderledes på lommeregneren?
Hvis du prøver at beregne de samme eksempler på en lommeregner, kan du få det samme forkerte resultat, som da vi regnede 1 + 2 + 5 · 0 første gang. Hvordan kan det være? Der er i bund og grund to muligheder: enten kender lommeregneren ikke regnearternes hierarki, eller også trykker du på lig-med-tasten midt i beregningen. Hvis du nemlig trykker på lommeregnerens taster sådan her:
- [Et] [plus] [to] [lig med] -> lommeregneren viser 3,
- [plus] [fem] [lig med] -> lommeregneren viser 8,
- [gange] [nul] [lig med] -> lommeregneren viser 0.
Så har du i virkeligheden ikke beregnet den opgave, der stod ovenfor, for ved at trykke på »lig med« dér har du i stedet for ét udtryk beregnet tre forskellige indbyrdes uafhængige udtryk. I det sidste trin regner lommeregneren simpelthen udtrykket »otte gange nul«, og det er bare nul, det viser lommeregneren dig rigtigt. Lommeregneren ved i det øjeblik ikke, at der før var en multiplikation, som skulle have forrang.
Hvis du ikke trykker på »lig med«, men har beregnet hele opgaven som
- [Et] [plus] [to] [plus] [fem] [gange] [nul]
og lommeregneren stadig viser nul, så kender din lommeregner ikke regnearternes hierarki, og det er sagtens muligt. I så fald kan du kontrollere beregningen på Google, for ud over at søge kan det også regne godt:
- 1 + 2 + 5 · 0 på Google
- 1 + 2 + 5 · 0 på WolframAlpha (WolframAlpha er et kendt online værktøj til beregning af alle mulige opgaver, du kan dér løse ligninger, differentiere, integrere …)
Sådan ændrer du regnearternes naturlige rækkefølge: parenteser
Hvis vi vil ændre rækkefølgen, kan vi bruge parenteser. Hvis vi havde udtrykket
og først ville lægge 1 + 2 sammen og først derefter gange resultatet med fem, kan vi bruge parenteser sådan her:
Udtryk i parentes har forrang for den almindelige rækkefølge af regnearterne. Først ville vi altså beregne 1 + 2 og lade multiplikationen stå. Vi ville få:
som er lig med femten. Altså
Hvad med division og subtraktion?
Subtraktion står på samme måde som addition, og division står på samme måde som multiplikation. Multiplikation og division går altså forud for addition og subtraktion. Multiplikation og division har indbyrdes samme prioritet, og det samme har addition og subtraktion.
Lad os som eksempel se på dette udtryk
Dette udtryk er det samme som det følgende, hvor vi har skrevet parenteser, så rækkefølgen af regnearterne ikke ændres:
Og altså
som er lig med
Hvis vi har multiplikation og division lige efter hinanden, regner vi dem fra venstre mod højre, som de kommer:
Først beregner vi 6 · 4, som er 24. Division rører vi ikke ved endnu:
Og nu dividerer vi bare 24 med otte:
Hvorfor går gange forud for plus
Du kunne spørge, hvorfor multiplikation egentlig går forud for addition. Og det er et godt spørgsmål! Man kan sige, at der ikke ligger andet bag end en aftale mellem matematikere om, at det skal være sådan. Der findes ingen regel, hvoraf det er indlysende, at multiplikation skal have forrang. Hele matematikken ville fungere lige så godt, selv om addition havde højere prioritet end multiplikation. Eller hvis de havde samme prioritet, og vi altid gik frem fra venstre mod højre, som da vi tastede det ind på lommeregneren.
På den anden side ville vi, hvis addition havde forrang, få brug for flere parenteser. Lad os vise det på et lidt mere kompliceret udtryk for et andengradspolynomium:
I nutidens matematik betyder dette udtryk »tre gange x i anden«, som vi lægger sammen med »fire gange x«, og det lægger vi yderligere sammen med »fem«. Hvis addition gik forud for multiplikation, ville vi være nødt til at bruge parenteser for at få det samme udtryk:
Fordi vi bruger dette udtryk og lignende ret ofte i matematik, er det mere praktisk for matematikere, at multiplikation går forud for addition. Der er dog ingen grund, der entydigt viser, at det skal være netop sådan og ikke anderledes.
Hvis du er interesseret, kan du læse artiklen Why Multiplication Has Higher Priority than Addition: A Pedagogical Remark af Olga Kosheleva og Vladik Kreinovich.
Er det ikke bedre at bruge parenteser?
Ofte ja. Mange ved ikke, hvordan prioriteringen af multiplikation og addition fungerer, og selv et så enkelt udtryk som
kan blive misforstået. Hvis du vil øge chancen for, at folk forstår, hvad du vil sige med matematisk notation, så sæt simpelthen parenteser i udtrykket:
