Hoeveel is 1 + 2 + 5 · 0? Over de volgorde van bewerkingen
Op sociale media gaat voortdurend een raadsel rond dat hierop lijkt. Waaraan is deze uitdrukking gelijk?
Laten we het samen uitrekenen:
- Eén plus twee is gelijk aan drie.
- Drie plus vijf is gelijk aan acht.
- En ten slotte is acht keer nul gelijk aan nul.
Heb je zo met me meegerekend? Helaas hebben we allebei fout gerekend ‼️‼️‼️ We zijn namelijk de klassieke schoolregel vergeten: vermenigvuldigen gaat voor optellen. Wat betekent dat?
Als we in één uitdrukking zowel optellen als vermenigvuldigen hebben, vermenigvuldigen we eerst alles wat te vermenigvuldigen valt, en pas daarna gaan we terug naar het optellen. In ons geval betekent dat dat we eerst 5 · 0 uitrekenen en al het andere in de uitdrukking negeren. Vijf keer nul is nul. Die nul schrijven we terug in de uitdrukking:
Nu krijgen we een uitdrukking waarin alleen nog opgeteld wordt. Dat is makkelijk: 1 + 2 + 0 is gelijk aan drie. Dus
Nog een voorbeeld. Waaraan is deze uitdrukking gelijk?
Ook hier geldt dat we eerst de vermenigvuldiging uitrekenen en het optellen laten voor wat het is. We rekenen dus eerst 2 · 3 uit, dat is 6:
Nu staat er in de uitdrukking alleen nog optellen en dat is makkelijk:
Waarom komt er op de rekenmachine iets anders uit?
Als je dezelfde voorbeelden op een rekenmachine probeert uit te rekenen, kan er net zo'n verkeerd resultaat uitkomen als toen we 1 + 2 + 5 · 0 voor het eerst uitrekenden. Hoe kan dat? Er zijn eigenlijk twee mogelijkheden: óf de rekenmachine kent de volgorde van bewerkingen niet, óf je drukt tijdens de berekening op het isgelijkteken. Als je op de rekenmachine namelijk zo op de knoppen drukt:
- [Eén] [plus] [twee] [is gelijk aan] -> de rekenmachine laat 3 zien,
- [plus] [vijf] [is gelijk aan] -> de rekenmachine laat 8 zien,
- [keer] [nul] [is gelijk aan] -> de rekenmachine laat 0 zien.
dan heb je in feite niet de opgave uitgerekend die hierboven stond, want doordat je steeds op “is gelijk aan” hebt gedrukt, heb je in plaats van één uitdrukking drie verschillende, niet met elkaar samenhangende uitdrukkingen uitgerekend. In de laatste stap rekent de rekenmachine gewoon de uitdrukking “acht keer nul” uit en dat is gewoon nul, dat laat de rekenmachine je correct zien. De rekenmachine weet op dat moment niet dat er eerder een vermenigvuldiging stond die voorrang zou moeten hebben.
Als je niet op “is gelijk aan” drukt, maar de hele opgave in één keer hebt ingevoerd als
- [Eén] [plus] [twee] [plus] [vijf] [keer] [nul]
en de rekenmachine toch nul laat zien, dan kent jouw rekenmachine de volgorde van bewerkingen niet, en dat kan best. In dat geval kun je de berekening controleren met Google, want naast zoeken kan Google ook goed rekenen:
- 1 + 2 + 5 · 0 op Google
- 1 + 2 + 5 · 0 op WolframAlpha (WolframAlpha is een bekend online hulpmiddel om allerlei opgaven uit te rekenen, je kunt er vergelijkingen, afgeleiden, integralen oplossen…)
De natuurlijke volgorde van bewerkingen veranderen: haakjes
Als we de volgorde van bewerkingen willen veranderen, kunnen we haakjes gebruiken. Stel dat we de uitdrukking
hebben en eerst 1 + 2 willen optellen en pas het resultaat met vijf willen vermenigvuldigen, dan kunnen we daarvoor haakjes gebruiken, zo:
Wat tussen haakjes staat, gaat voor de gewone volgorde van bewerkingen. We rekenen dus eerst 1 + 2 uit en laten de vermenigvuldiging zoals ze is. We krijgen:
dat is gelijk aan vijftien. Dus
En delen en aftrekken?
Aftrekken is net zo als optellen en delen is net zo als vermenigvuldigen. Vermenigvuldigen en delen gaan dus voor optellen en aftrekken. Vermenigvuldigen en delen hebben onderling dezelfde prioriteit, net als optellen en aftrekken.
Laten we als voorbeeld deze uitdrukking bekijken
Deze uitdrukking is gelijk aan de volgende, waarin we haakjes zetten zonder dat de volgorde van bewerkingen verandert:
En dus
dat is gelijk aan
Als vermenigvuldigen en delen direct op elkaar volgen, rekenen we ze van links naar rechts uit, in de volgorde waarin ze komen:
Eerst rekenen we 6 · 4 uit, dat is 24. Het delen laten we nog even staan:
En nu hoeven we alleen nog 24 door acht te delen:
Waarom gaat vermenigvuldigen voor optellen?
Je zou kunnen vragen waarom vermenigvuldigen eigenlijk voor optellen gaat. En dat is een goede vraag! Je kunt zeggen dat er niets anders achter zit dan een afspraak van wiskundigen dat het zo zal zijn. Er bestaat geen regel waaruit blijkt dat vermenigvuldigen voorrang moet hebben. De hele wiskunde zou net zo goed werken als optellen een hogere prioriteit had dan vermenigvuldigen. Of als ze dezelfde prioriteit hadden en we altijd van links naar rechts rekenden, zoals toen we het op de rekenmachine intoetsten.
Aan de andere kant: als optellen voorrang had, zouden we meer haakjes nodig hebben. Laten we dat laten zien aan een iets ingewikkelder uitdrukking van een kwadratische functie:
In de huidige wiskunde betekent deze uitdrukking “drie keer x in het kwadraat”, dat we optellen bij “vier keer x”, en dat tellen we weer op bij “vijf”. Als optellen voorrang had boven vermenigvuldigen, zouden we haakjes moeten gebruiken om dezelfde uitdrukking te krijgen:
Omdat we deze uitdrukking en soortgelijke uitdrukkingen in de wiskunde vrij vaak gebruiken, is het voor wiskundigen handiger als vermenigvuldigen voorrang heeft boven optellen. Er is echter geen reden waaruit ondubbelzinnig volgt dat het precies zo moet zijn en niet anders.
Als je er meer over wilt weten, kun je het artikel Why Multiplication Has Higher Priority than Addition: A Pedagogical Remark lezen, geschreven door Olga Kosheleva en Vladik Kreinovich.
Is het niet beter om haakjes te gebruiken?
Vaak wel. Veel mensen weten niet hoe de volgorde van vermenigvuldigen en optellen werkt en zelfs een zo eenvoudige uitdrukking als
kan verkeerd worden begrepen. Als je de kans wilt vergroten dat mensen begrijpen wat je met de wiskundige notatie wilt zeggen, zet dan gewoon haakjes in de uitdrukking:
