Hur mycket är 1 + 2 + 5 · 0? Om att multiplikation går före

Då och då dyker det upp en gåta som den här på sociala medier. Vilket tal är uttrycket lika med?

$1 + 2 + 5 \cdot 0 = ?$

Vi räknar ut det tillsammans:

Ett plus två är lika med tre.
Tre plus fem är lika med åtta.
Och till sist är åtta gånger noll lika med noll.

Räknade du så tillsammans med mig? Tyvärr räknade vi båda fel ‼️‼️‼️ Vi glömde nämligen den klassiska skolregeln: multiplikation går före addition. Vad betyder det?

Om vi har både addition och multiplikation i ett uttryck multiplicerar vi först allt som går att multiplicera, och först därefter återvänder vi till additionen. I vårt fall betyder det att vi först multiplicerar 5 · 0 och ignorerar allt annat i uttrycket. Fem gånger noll är noll. Den nollan skriver vi tillbaka i uttrycket:

$1 + 2 + 5 \cdot 0 = 1 + 2 + 0$

Nu har vi ett uttryck med bara addition. Då är det enkelt, 1 + 2 + 0 är lika med tre. Alltså

$1 + 2 + 5 \cdot 0 = 3$

Ett annat exempel. Vad är det här lika med?

$1 + 2 \cdot 3 + 4 = ?$

Återigen gäller regeln att vi först löser multiplikationen och låter additionen vara. Först räknar vi alltså ut 2 · 3, vilket är 6:

$1 + 2 \cdot 3 + 4 = 1 + 6 + 4$

Nu har vi bara addition i uttrycket, och det är enkelt:

$1 + 6 + 4 = 11$

Varför blir det annorlunda på miniräknaren?

Om du räknar samma exempel på en miniräknare kan du få lika fel svar som när vi räknade 1 + 2 + 5 · 0 första gången. Hur kan det komma sig? Det finns i princip två möjligheter: antingen känner miniräknaren inte till räkneordningen, eller så trycker du på likhetstecknet under räkningens gång. Om du trycker på knapparna så här:

[ett] [plus] [två] [lika med] -> miniräknaren visar 3,
[plus] [fem] [lika med] -> miniräknaren visar 8,
[gånger] [noll] [lika med] -> miniräknaren visar 0.

Då har du egentligen inte räknat uppgiften som gavs ovan, för genom att trycka på ”lika med” har du i stället för ett uttryck räknat tre olika uttryck som inte hör ihop. I sista steget räknar miniräknaren helt enkelt ut ”åtta gånger noll”, och det är noll, det visar miniräknaren rätt. Miniräknaren vet inte i det läget att det tidigare fanns en multiplikation som skulle ha gått före.

Om du inte trycker på ”lika med” utan matar in hela uppgiften som

[ett] [plus] [två] [plus] [fem] [gånger] [noll]

och miniräknaren fortfarande visar noll, då känner din miniräknare inte till räkneordningen, vilket mycket väl kan vara fallet. Då kan du kontrollera uträkningen av 1 + 2 + 5 · 0 på Google, för förutom att söka kan Google också räkna bra:

1 + 2 + 5 · 0 på Google
1 + 2 + 5 · 0 på WolframAlpha (WolframAlpha är ett känt onlineverktyg som kan lösa alla möjliga uppgifter, där kan du lösa ekvationer, derivator, integraler…)

Hur du ändrar den naturliga räkneordningen: parenteser

Om vi vill ändra räkneordningen kan vi använda parenteser. Om vi har uttrycket

$1 + 2 \cdot 5$

och vill addera 1 + 2 först och sedan multiplicera resultatet med fem, kan vi använda parenteser så här:

$(1 + 2) \cdot 5$

Uttryck inom parentes går före den vanliga räkneordningen. Först skulle vi alltså räkna ut 1 + 2 och låta multiplikationen vara som den är. Vi skulle få:

$(1 + 2) \cdot 5 = 3 \cdot 5$

vilket är lika med femton. Alltså

$(1 + 2) \cdot 5 = 15.$

Och division och subtraktion?

Subtraktion fungerar som addition, och division fungerar som multiplikation. Multiplikation och division går alltså före addition och subtraktion. Multiplikation och division har samma prioritet sinsemellan, och likaså addition och subtraktion.

Som exempel tittar vi på uttrycket

$1 + 2 \cdot 3 - 8 : 4$

Det är detsamma som det här, där vi har skrivit dit parenteser utan att ändra räkneordningen:

$1 + (2 \cdot 3) - (8 : 4)$

Och alltså

$1 + (2 \cdot 3) - (8 : 4) = 1 + 6 - 2$

vilket är lika med

$1 + 6 - 2 = 5.$

Om multiplikation och division står direkt efter varandra räknar vi dem från vänster till höger, i den ordning de kommer:

$6 \cdot 4 : 8$

Först beräknar vi 6 · 4, vilket är 24. Divisionen rör vi inte än:

$6 \cdot 4 : 8 = 24 : 8$

Nu återstår bara att dividera 24 med åtta:

$24 : 8 = 3.$

Varför går multiplikation före addition?

Du kanske undrar varför multiplikation egentligen går före addition. Det är en bra fråga! Man kan säga att det inte ligger något annat bakom än en överenskommelse mellan matematiker att det ska vara så. Det finns ingen regel ur vilken det framgår att multiplikation måste gå före. Hela matematiken skulle fungera lika bra även om addition hade högre prioritet än multiplikation. Eller om de hade samma prioritet och vi alltid räknade från vänster till höger, som när vi tryckte på miniräknaren.

Å andra sidan skulle vi behöva fler parenteser om addition gick före. Vi visar det på ett lite mer komplicerat uttryck för en andragradsfunktion:

$3 x^{2} + 4 x + 5$

I dagens matematik betyder uttrycket ”tre gånger x i kvadrat”, som vi adderar till ”fyra gånger x”, och till det adderar vi i sin tur ”fem”. Om addition gick före multiplikation skulle vi behöva använda parenteser för att få samma uttryck:

$(3 x^{2}) + (4 x) + 5$

Eftersom vi använder det här uttrycket och liknande uttryck ganska ofta i matematiken är det praktiskare för matematiker att multiplikation går före addition. Men det finns ingen anledning som entydigt visar att det måste vara just så och inte på något annat sätt.

Om du vill veta mer kan du läsa artikeln Why Multiplication Has Higher Priority than Addition: A Pedagogical Remark, skriven av Olga Kosheleva och Vladik Kreinovich.

Är det inte bättre att använda parenteser?

Ofta ja. Många känner inte till hur räkneordningen för multiplikation och addition fungerar, och även ett så enkelt uttryck som

$1 + 2 \cdot 3 + 4$

kan missförstås. Om du vill öka chansen att folk förstår vad du vill säga med matematisk skrift, sätt helt enkelt parenteser i uttrycket:

$1 + (2 \cdot 3) + 4$

« Föregående: Hur beräknar man ett vaccins effektivitet?

Nästa: Datavetenskapens största problem: P mot NP »