Hva er 1 + 2 + 5 · 0? Om regnerekkefølge
Stadig vekk går det rundt en gåte som ligner på denne på sosiale medier. Hva er dette uttrykket lik?
La oss regne det ut sammen:
- En pluss to er lik tre.
- Tre pluss fem er lik åtte.
- Og til slutt er åtte ganger null lik null.
Regnet du slik sammen med meg? Dessverre regnet vi begge feil ‼️‼️‼️ Vi glemte nemlig den klassiske skolereglen: multiplikasjon går foran addisjon. Hva betyr det?
Hvis vi har både addisjon og multiplikasjon i samme uttrykk, multipliserer vi først alt som kan multipliseres, og først deretter går vi tilbake til addisjonen. I vårt tilfelle betyr det at vi først multipliserer 5 · 0 og ser bort fra alt det andre i uttrykket. Fem ganger null er null. Denne nullen skriver vi tilbake i uttrykket:
Nå har vi et uttrykk som bare inneholder addisjon. Da er det enkelt, 1 + 2 + 0 er lik tre. Altså
Et annet eksempel. Hva er dette lik?
Igjen gjelder regelen at vi løser multiplikasjonen først og lar addisjonen være i fred. Først regner vi altså ut 2 · 3, som er 6:
Nå har vi bare addisjon igjen i uttrykket, og det er enkelt:
Hvorfor blir svaret et annet på kalkulatoren?
Hvis du prøver å regne ut de samme eksemplene på en kalkulator, kan du få det samme gale svaret som da vi regnet 1 + 2 + 5 · 0 første gang. Hvordan kan det ha seg? Det er i grunnen to muligheter: Enten kjenner ikke kalkulatoren til regnerekkefølgen, eller så trykker du på er lik-tasten underveis i utregningen. Hvis du trykker på knappene på kalkulatoren slik:
- [En] [pluss] [to] [er lik] -> kalkulatoren viser 3,
- [pluss] [fem] [er lik] -> kalkulatoren viser 8,
- [ganger] [null] [er lik] -> kalkulatoren viser 0.
Da har du egentlig ikke regnet ut oppgaven som sto ovenfor, for ved å trykke på «er lik» regnet du i stedet for ett uttrykk ut tre ulike uttrykk som ikke har noe med hverandre å gjøre. I det siste trinnet regner kalkulatoren rett og slett ut uttrykket «åtte ganger null», og det er bare null, det viser kalkulatoren riktig. Kalkulatoren vet ikke på dette tidspunktet at det tidligere var en multiplikasjon som skulle ha gått foran.
Hvis du ikke trykker på «er lik», men regner ut hele oppgaven som
- [En] [pluss] [to] [pluss] [fem] [ganger] [null]
og kalkulatoren fortsatt viser null, kjenner kalkulatoren din ikke til regnerekkefølgen, og det er fullt mulig. I så fall kan du kontrollere utregningen på Google, for i tillegg til å søke er den også god til å regne:
- 1 + 2 + 5 · 0 på Google
- 1 + 2 + 5 · 0 på WolframAlpha (WolframAlpha er et kjent nettbasert verktøy for å regne ut alle mulige oppgaver, du kan løse likninger, derivere, integrere…)
Slik endrer du den naturlige regnerekkefølgen: parenteser
Hvis vi vil endre regnerekkefølgen, kan vi bruke parenteser. Hvis vi hadde uttrykket
og ville legge sammen 1 + 2 først og så multiplisere resultatet med fem, kan vi bruke parenteser slik:
Uttrykk i parentes går foran den vanlige regnerekkefølgen. Først ville vi altså regne ut 1 + 2 og la multiplikasjonen stå. Vi ville få:
som er lik femten. Altså
Hva med divisjon og subtraksjon?
Subtraksjon fungerer på samme måte som addisjon, og divisjon på samme måte som multiplikasjon. Altså går multiplikasjon og divisjon foran addisjon og subtraksjon. Multiplikasjon og divisjon har samme prioritet seg imellom, og det samme har addisjon og subtraksjon.
La oss se på dette uttrykket som eksempel
Dette uttrykket er det samme som det neste, der vi har skrevet inn parenteser slik at regnerekkefølgen ikke endres:
Altså
som er lik
Hvis vi har multiplikasjon og divisjon rett etter hverandre, regner vi dem fra venstre mot høyre, i den rekkefølgen de kommer:
Først regner vi ut 6 · 4, som er 24. Divisjonen rører vi ikke ennå:
Og nå gjenstår bare å dele 24 på åtte:
Hvorfor går multiplikasjon foran addisjon?
Du kan spørre deg hvorfor multiplikasjon egentlig går foran addisjon. Og det er et godt spørsmål! Man kan si at det ikke ligger noe annet bak enn en avtale mellom matematikere om at det skal være slik. Det finnes ingen regel som gjør det opplagt at multiplikasjon må gå først. Hele matematikken ville fungert like godt selv om addisjon hadde høyere prioritet enn multiplikasjon. Eller om de hadde samme prioritet og vi alltid regnet fra venstre mot høyre, slik som da vi trykket på kalkulatoren.
På den andre siden ville vi trengt flere parenteser hvis addisjon gikk foran. La oss vise det på et litt mer sammensatt uttrykk for en andregradsfunksjon:
I dagens matematikk betyr dette uttrykket «tre ganger x i andre», som vi legger sammen med «fire ganger x», som vi igjen legger sammen med «fem». Hvis addisjon gikk foran multiplikasjon, måtte vi bruke parenteser for å få det samme uttrykket:
Siden vi bruker dette uttrykket og lignende uttrykk ganske ofte i matematikk, er det mer praktisk for matematikere at multiplikasjon går foran addisjon. Men det finnes ingen grunn som entydig tilsier at det må være akkurat slik og ikke annerledes.
Hvis du vil vite mer, kan du lese artikkelen Why Multiplication Has Higher Priority than Addition: A Pedagogical Remark av Olga Kosheleva og Vladik Kreinovich.
Er det ikke bedre å bruke parenteser?
Ofte ja. Mange vet ikke hvordan regnerekkefølgen for multiplikasjon og addisjon fungerer, og selv et så enkelt uttrykk som
kan bli misforstått. Hvis du vil øke sjansen for at folk forstår det du vil si med matematisk skrivemåte, kan du rett og slett sette parenteser i uttrykket:
