✖

Mennyi 1 + 2 + 5 · 0? A szorzás elsőbbségéről

A közösségi oldalakon újra meg újra felbukkan egy ehhez hasonló találós kérdés. Mivel egyenlő ez a kifejezés?

1+2+5⋅0=?

Számoljuk ki együtt!

  • Egy plusz kettő egyenlő hárommal.
  • Három plusz öt egyenlő nyolccal.
  • Végül nyolcszor nulla egyenlő nullával.

Te is így számoltál velem együtt? Sajnos mindketten rosszul számoltunk ‼️‼️‼️ Megfeledkeztünk ugyanis az iskolai alapszabályról: a szorzás elsőbbséget élvez az összeadással szemben. Mit jelent ez?

Ha egy kifejezésben összeadás és szorzás is szerepel, először mindent összeszorzunk, amit csak lehet, és csak ezután térünk vissza az összeadáshoz. Esetünkben ez azt jelenti, hogy először kiszámoljuk az 5 · 0 szorzatot, a kifejezés többi részét pedig figyelmen kívül hagyjuk. Ötször nulla az nulla. Ezt a nullát visszaírjuk a kifejezésbe:

1+2+5⋅0=1+2+0

Így olyan kifejezést kapunk, amelyben már csak összeadás van. Az pedig egyszerű: 1 + 2 + 0 egyenlő hárommal. Tehát

1+2+5⋅0=3

Nézzünk egy másik példát. Mivel egyenlő ez?

1+2⋅3+4=?

Ismét az a szabály, hogy először a szorzást végezzük el, az összeadást pedig békén hagyjuk. Elsőként tehát a 2 · 3 szorzatot számoljuk ki, ami 6:

1+2⋅3+4=1+6+4

Most már csak összeadás van a kifejezésben, az pedig egyszerű:

1+6+4=11

Miért jön ki másképp a számológépen?

Ha ugyanezeket a példákat a számológépeden próbálod kiszámolni, ugyanolyan rossz eredményt kaphatsz, mint amikor először számoltuk ki az 1 + 2 + 5 · 0 kifejezést. Hogy lehet ez? Alapvetően két lehetőség van: vagy a számológép nem ismeri a műveletek sorrendjét, vagy a számolás közben megnyomod az egyenlőségjelet. Ha ugyanis a gombokat így nyomkodod:

  • [Egy] [plusz] [kettő] [egyenlő] -> a számológép 3-at mutat,
  • [plusz] [öt] [egyenlő] -> a számológép 8-at mutat,
  • [szorozva] [nulla] [egyenlő] -> a számológép 0-t mutat.

akkor valójában nem a fent megadott feladatot számoltad ki, hiszen az „egyenlő” gomb megnyomásával egyetlen kifejezés helyett három különböző, egymással nem összefüggő kifejezést számoltál ki. Az utolsó lépésben a számológép egyszerűen a „nyolcszor nulla” kifejezést számolja, az pedig tényleg nulla, ezt a számológép helyesen mutatja. A számológép ekkor már nem tudja, hogy korábban volt ott egy szorzás, amelyet előbb kellett volna elvégezni.

Ha nem nyomod meg az „egyenlő” gombot, hanem a teljes feladatot így írtad be:

  • [Egy] [plusz] [kettő] [plusz] [öt] [szorozva] [nulla]

és a számológép még mindig nullát mutat, akkor a számológéped nem ismeri a műveletek sorrendjét, ami könnyen előfordulhat. Ilyenkor a számolást ellenőrizheted a Google-ben, mert a keresésen kívül jól számolni is tud:

Hogyan változtathatjuk meg a műveletek természetes sorrendjét: zárójelek

Ha meg akarjuk változtatni a műveletek sorrendjét, zárójeleket használhatunk. Ha van egy ilyen kifejezésünk

1+2⋅5

és először az 1 + 2 összeget szeretnénk kiszámolni, az eredményt pedig megszorozni öttel, zárójeleket használhatunk:

(1+2)⋅5

A zárójelben lévő kifejezések a szokásos műveleti sorrendnél előbb kerülnek sorra. Először tehát az 1 + 2 összeget számolnánk ki, a szorzást pedig úgy hagynánk, ahogy van. Ezt kapnánk:

(1+2)⋅5=3⋅5

ami egyenlő tizenöttel. Tehát

(1+2)⋅5=15.

És mi a helyzet az osztással és a kivonással?

A kivonás ugyanúgy viselkedik, mint az összeadás, az osztás pedig ugyanúgy, mint a szorzás. A szorzás és az osztás tehát elsőbbséget élvez az összeadással és a kivonással szemben. A szorzásnak és az osztásnak egymással azonos az elsőbbsége, ahogy az összeadásnak és a kivonásnak is.

Nézzük például ezt a kifejezést:

1+2⋅3−8:4

Ez a kifejezés megegyezik azzal, amelybe úgy írunk zárójeleket, hogy a műveletek sorrendje ne változzon:

1+(2⋅3)−(8:4)

Tehát

1+(2⋅3)−(8:4)=1+6−2

ami egyenlő

1+6−2=5.

Ha a szorzás és az osztás közvetlenül egymás után áll, balról jobbra haladva, ahogy jönnek, úgy számoljuk ki őket:

6⋅4:8

Először kiszámoljuk a 6 · 4 szorzatot, ami 24. Az osztáshoz egyelőre nem nyúlunk:

6⋅4:8=24:8

Most már csak el kell osztanunk a 24-et nyolccal:

24:8=3.

Miért előzi meg a szorzás az összeadást?

Megkérdezheted, hogy valójában miért előzi meg a szorzás az összeadást. És ez jó kérdés! Azt mondhatjuk, hogy emögött nincs más, mint a matematikusok megállapodása, hogy ez így lesz. Nincs olyan szabály, amelyből nyilvánvaló lenne, hogy a szorzásnak muszáj elsőbbséget élveznie. A teljes matematika ugyanilyen jól működne akkor is, ha az összeadásnak lenne magasabb az elsőbbsége, mint a szorzásnak. Vagy ha azonos lenne az elsőbbségük, és mindig balról jobbra haladnánk, ahogy a számológépen nyomkodtuk.

Másrészt, ha az összeadás élvezne elsőbbséget, több zárójelre lenne szükségünk. Mutassuk meg ezt egy kicsit bonyolultabb másodfokú függvény kifejezésén:

3x2+4x+5

A mai matematikában ez a kifejezés azt jelenti, hogy „háromszor x a négyzeten”, ehhez hozzáadjuk a „négyszer x”-et, ehhez pedig még az „öt”-öt. Ha az összeadásnak lenne elsőbbsége a szorzással szemben, zárójeleket kellene használnunk, hogy ugyanezt a kifejezést kapjuk:

(3x2)+(4x)+5

Mivel ezt a kifejezést és a hozzá hasonlókat a matematikában elég gyakran használjuk, a matematikusoknak gyakorlatiasabb, ha a szorzásnak van elsőbbsége az összeadással szemben. Nincs azonban olyan ok, amelyből egyértelműen következne, hogy pont így kell lennie, és nem másképp.

Ha jobban érdekel, elolvashatod a Why Multiplication Has Higher Priority than Addition: A Pedagogical Remark című cikket, amelynek szerzői Olga Kosheleva és Vladik Kreinovich.

Nem jobb zárójeleket használni?

Gyakran igen. Sokan nem tudják, hogyan működik a szorzás és az összeadás elsőbbsége, és egy olyan egyszerű kifejezést is, mint

1+2⋅3+4

könnyen félre lehet érteni. Ha növelni akarod az esélyét, hogy az emberek megértsék, mit szeretnél a matematikai jelöléssel kifejezni, egyszerűen tegyél zárójeleket a kifejezésbe:

1+(2⋅3)+4