¿Cuánto es 1 + 2 + 5 · 0? Sobre la jerarquía de las operaciones
De vez en cuando circula por las redes sociales un acertijo parecido a este. ¿A qué número es igual esta expresión?
Calculémoslo juntos:
- Uno más dos es igual a tres.
- Tres más cinco es igual a ocho.
- Y por último, ocho por cero es igual a cero.
¿Lo has calculado así conmigo? Por desgracia, los dos hemos calculado mal ‼️‼️‼️ Nos hemos olvidado de la regla clásica del colegio: la multiplicación tiene prioridad sobre la suma. ¿Qué significa eso?
Si en una misma expresión tenemos tanto sumas como multiplicaciones, primero multiplicamos todo lo que se pueda multiplicar y solo después volvemos a las sumas. En nuestro caso eso significa que primero multiplicamos 5 · 0 e ignoramos todo lo demás que hay en la expresión. Cinco por cero es cero. Ese cero lo escribimos de nuevo en la expresión:
Y ahora ya tenemos una expresión en la que solo hay sumas. Ahí ya es fácil: 1 + 2 + 0 es igual a tres. Es decir,
Otro ejemplo. ¿A qué es igual esto?
De nuevo, se aplica la regla de que primero resolvemos la multiplicación y dejamos las sumas en paz. Así que primero resolvemos 2 · 3, que es 6:
Y ahora en la expresión solo tenemos sumas, y eso es fácil:
¿Por qué en la calculadora sale otra cosa?
Si pruebas a calcular los mismos ejemplos en una calculadora, te puede salir un resultado igual de erróneo que cuando calculamos por primera vez 1 + 2 + 5 · 0. ¿Cómo es posible? Básicamente hay dos posibilidades: o bien la calculadora no conoce la jerarquía de las operaciones, o bien pulsas la tecla de igual en mitad del cálculo. Si en la calculadora pulsas las teclas así:
- [Uno] [más] [dos] [igual] -> la calculadora muestra 3,
- [más] [cinco] [igual] -> la calculadora muestra 8,
- [por] [cero] [igual] -> la calculadora muestra 0.
en realidad no has calculado el ejercicio propuesto arriba, porque al pulsar «igual» has calculado, en lugar de una sola expresión, tres expresiones distintas sin relación entre sí. En el último paso la calculadora simplemente calcula la expresión «ocho por cero» y eso es sencillamente cero; la calculadora te lo muestra correctamente. En ese momento la calculadora no sabe que antes había una multiplicación que debería tener prioridad.
Si no pulsas «igual», sino que has calculado todo el ejercicio como
- [Uno] [más] [dos] [más] [cinco] [por] [cero]
y la calculadora sigue mostrando cero, entonces tu calculadora no conoce la jerarquía de las operaciones, lo cual es muy posible. En ese caso puedes comprobar el cálculo en Google, porque además de buscar sabe calcular muy bien:
- 1 + 2 + 5 · 0 en Google
- 1 + 2 + 5 · 0 en WolframAlpha (WolframAlpha es una conocida herramienta en línea para resolver todo tipo de ejercicios; ahí puedes resolver ecuaciones, derivadas, integrales…)
Cómo cambiar la jerarquía natural de las operaciones: los paréntesis
Si queremos cambiar la jerarquía de las operaciones, podemos usar paréntesis. Si tuviéramos la expresión
y quisiéramos sumar primero 1 + 2 y multiplicar por cinco solo el resultado, podemos usar paréntesis así:
Las expresiones entre paréntesis tienen prioridad sobre la jerarquía habitual de las operaciones. Así que primero calcularíamos 1 + 2 y dejaríamos la multiplicación como está. Obtendríamos:
que es igual a quince. Es decir,
¿Y la división y la resta?
La resta está en la misma situación que la suma, y la división en la misma que la multiplicación. Es decir, la multiplicación y la división tienen prioridad sobre la suma y la resta. La multiplicación y la división tienen entre sí la misma prioridad, y lo mismo ocurre con la suma y la resta.
Como ejemplo, veamos esta expresión
Esta expresión es idéntica a esta otra, en la que añadimos paréntesis de modo que no cambie la jerarquía de las operaciones:
Y por tanto
que es igual a
Si tenemos una multiplicación y una división seguidas, las calculamos de izquierda a derecha, tal como van apareciendo:
Primero calculamos 6 · 4, que es 24. De momento no tocamos la división:
Y ahora solo dividimos 24 entre ocho:
Por qué la multiplicación tiene prioridad sobre la suma
Podrías preguntar por qué la multiplicación tiene prioridad sobre la suma. ¡Y es una buena pregunta! Se puede decir que detrás no hay nada más que un acuerdo entre los matemáticos de que sea así. No existe ninguna regla de la que se deduzca que la multiplicación tiene que tener prioridad. Las matemáticas funcionarían igual de bien aunque la suma tuviera mayor prioridad que la multiplicación. O si tuvieran la misma prioridad y procediéramos siempre de izquierda a derecha, como cuando íbamos pulsando teclas en la calculadora.
Por otro lado, si la suma tuviera prioridad, necesitaríamos más paréntesis. Veámoslo, por ejemplo, con la expresión, algo más complicada, de una función cuadrática:
En las matemáticas actuales esta expresión significa «tres por x al cuadrado», a lo que sumamos «cuatro por x» y, después, «cinco». Si la suma tuviera prioridad sobre la multiplicación, tendríamos que usar paréntesis para obtener la misma expresión:
Como esta expresión y otras parecidas las usamos en matemáticas con bastante frecuencia, a los matemáticos les resulta más práctico que la multiplicación tenga prioridad sobre la suma. Pero no existe ninguna razón de la que se deduzca de forma inequívoca que tenga que ser precisamente así y no de otra manera.
Si te interesa más, puedes leer el artículo Why Multiplication Has Higher Priority than Addition: A Pedagogical Remark, cuyos autores son Olga Kosheleva y Vladik Kreinovich.
¿No es mejor usar paréntesis?
A menudo sí. Mucha gente no sabe cómo funciona la prioridad de la multiplicación y la suma, y hasta una expresión tan sencilla como
puede entenderse mal. Si quieres aumentar las posibilidades de que la gente entienda lo que quieres decir con la notación matemática, simplemente añade paréntesis a la expresión:
