Paljonko on 1 + 2 + 5 · 0? Eli kertolaskun etusijasta

Sosiaalisessa mediassa kiertää tämäntapainen arvoitus tuon tuostakin. Mikä luku on tämän lausekkeen arvo?

$1 + 2 + 5 \cdot 0 = ?$

Lasketaan se yhdessä:

Yksi plus kaksi on kolme.
Kolme plus viisi on kahdeksan.
Ja lopuksi kahdeksan kertaa nolla on nolla.

Laskitko näin yhdessä kanssani? Valitettavasti lasku meni kummallakin väärin ‼️‼️‼️ Unohdettiin nimittäin klassinen koulusääntö: kertolasku menee yhteenlaskun edelle. Mitä se tarkoittaa?

Jos samassa lausekkeessa on sekä yhteenlaskua että kertolaskua, ensin kerrotaan kaikki, mikä voidaan kertoa, ja vasta sen jälkeen palataan yhteenlaskuun. Tässä tapauksessa se tarkoittaa, että ensin lasketaan 5 · 0 ja kaikki muu lausekkeessa jätetään huomiotta. Viisi kertaa nolla on nolla. Kirjoitetaan tämä nolla takaisin lausekkeeseen:

$1 + 2 + 5 \cdot 0 = 1 + 2 + 0$

Nyt saadaan lauseke, jossa on vain yhteenlaskua. Se on helppoa, 1 + 2 + 0 on kolme. Siis

$1 + 2 + 5 \cdot 0 = 3$

Toinen esimerkki. Mikä on tämän arvo?

$1 + 2 \cdot 3 + 4 = ?$

Taas pätee sääntö, että ensin lasketaan kertolasku ja yhteenlasku jätetään rauhaan. Ensin lasketaan siis 2 · 3, joka on 6:

$1 + 2 \cdot 3 + 4 = 1 + 6 + 4$

Nyt lausekkeessa on enää vain yhteenlaskua, ja se on helppoa:

$1 + 6 + 4 = 11$

Miksi laskimella tulee eri tulos?

Jos kokeilet laskea samat esimerkit laskimella, tulokseksi voi tulla yhtä väärä luku kuin silloin, kun 1 + 2 + 5 · 0 laskettiin ensimmäisen kerran. Miten se on mahdollista? Vaihtoehtoja on periaatteessa kaksi: joko laskin ei tunne laskutoimitusten etusijajärjestystä tai painat laskun aikana yhtä kuin -näppäintä. Jos nimittäin painelet laskimen näppäimiä näin:

[Yksi] [plus] [kaksi] [yhtä kuin] -> laskin näyttää 3,
[plus] [viisi] [yhtä kuin] -> laskin näyttää 8,
[kertaa] [nolla] [yhtä kuin] -> laskin näyttää 0.

niin et oikeastaan laskenut yläpuolella annettua tehtävää, koska painamalla ”yhtä kuin” laskit yhden lausekkeen sijasta kolme eri toisiinsa liittymätöntä lauseketta. Viimeisessä vaiheessa laskin laskee lausekkeen ”kahdeksan kertaa nolla”, ja se on yksinkertaisesti nolla, sen laskin näyttää oikein. Laskin ei tässä vaiheessa tiedä, että aiemmin oli jokin kertolasku, jolla olisi etusija.

Jos et paina ”yhtä kuin” -näppäintä vaan laskit koko tehtävän näin

[Yksi] [plus] [kaksi] [plus] [viisi] [kertaa] [nolla]

ja laskin näyttää edelleen nollaa, laskimesi ei tunne laskutoimitusten etusijajärjestystä, mikä on aivan mahdollista. Tällöin voit tarkistaa laskun Googlella, koska hakujen lisäksi se osaa myös laskea hyvin:

1 + 2 + 5 · 0 Googlessa
1 + 2 + 5 · 0 WolframAlphassa (WolframAlpha on tunnettu verkkotyökalu kaikenlaisten tehtävien laskemiseen, siellä voi ratkaista yhtälöitä, derivaattoja, integraaleja…)

Miten laskujärjestystä muutetaan: sulut

Laskutoimitusten luontainen järjestys voidaan muuttaa sulkeilla. Jos on lauseke

$1 + 2 \cdot 5$

ja halutaan laskea ensin 1 + 2 ja kertoa vasta tulos viidellä, voidaan käyttää sulkeita näin:

$(1 + 2) \cdot 5$

Sulkeissa olevat lausekkeet menevät tavallisen laskujärjestyksen edelle. Laskettaisiin siis ensin 1 + 2 ja kertolasku jätettäisiin sellaisekseen. Saataisiin:

$(1 + 2) \cdot 5 = 3 \cdot 5$

mikä on viisitoista. Siis

$(1 + 2) \cdot 5 = 15.$

Entä jakolasku ja vähennyslasku?

Vähennyslaskun asema on sama kuin yhteenlaskun, ja jakolaskun asema on sama kuin kertolaskun. Kerto- ja jakolasku menevät siis yhteen- ja vähennyslaskun edelle. Kerto- ja jakolaskulla on keskenään sama etusija, samoin yhteen- ja vähennyslaskulla.

Tarkastellaan esimerkkinä tätä lauseketta

$1 + 2 \cdot 3 - 8 : 4$

Tämä lauseke on sama kuin seuraava, johon on lisätty sulut niin, ettei laskujärjestys muutu:

$1 + (2 \cdot 3) - (8 : 4)$

Siis

$1 + (2 \cdot 3) - (8 : 4) = 1 + 6 - 2$

mikä on

$1 + 6 - 2 = 5.$

Jos kerto- ja jakolasku tulevat peräkkäin, lasketaan ne vasemmalta oikealle siinä järjestyksessä kuin ne tulevat vastaan:

$6 \cdot 4 : 8$

Ensin lasketaan 6 · 4, joka on 24. Jakolaskuun ei vielä kosketa:

$6 \cdot 4 : 8 = 24 : 8$

Ja nyt jaetaan enää 24 kahdeksalla:

$24 : 8 = 3.$

Miksi kertolasku menee yhteenlaskun edelle

Voisit kysyä, miksi kertolasku oikeastaan menee yhteenlaskun edelle. Ja se on hyvä kysymys! Voidaan sanoa, että taustalla ei ole muuta kuin matemaatikkojen sopimus siitä, että asia on näin. Ei ole olemassa mitään sääntöä, josta olisi selvää, että kertolaskun täytyy mennä edelle. Koko matematiikka toimisi yhtä hyvin, vaikka yhteenlaskulla olisi korkeampi etusija kuin kertolaskulla. Tai vaikka niillä olisi sama etusija ja edettäisiin aina vasemmalta oikealle, niin kuin laskimella näppäillessä.

Toisaalta jos yhteenlasku menisi edelle, tarvittaisiin enemmän sulkeita. Katsotaan esimerkkiä vähän monimutkaisemmasta toisen asteen polynomifunktion lausekkeesta:

$3 x^{2} + 4 x + 5$

Nykyisessä matematiikassa tämä lauseke tarkoittaa ”kolme kertaa x toiseen”, johon lisätään ”neljä kertaa x”, johon lisätään vielä ”viisi”. Jos yhteenlasku menisi kertolaskun edelle, jouduttaisiin käyttämään sulkeita, jotta saataisiin sama lauseke:

$(3 x^{2}) + (4 x) + 5$

Koska tällaisia ja samankaltaisia lausekkeita käytetään matematiikassa melko usein, matemaatikoille on käytännöllisempää, että kertolasku menee yhteenlaskun edelle. Ei kuitenkaan ole mitään syytä, josta yksiselitteisesti seuraisi, että asian täytyy olla juuri näin eikä toisin.

Jos aihe kiinnostaa enemmän, voit lukea artikkelin Why Multiplication Has Higher Priority than Addition: A Pedagogical Remark, jonka kirjoittajat ovat Olga Kosheleva ja Vladik Kreinovich.

Eikö ole parempi käyttää sulkeita?

Usein on. Monet eivät tiedä, miten kerto- ja yhteenlaskun etusijat toimivat, ja jopa yhtä yksinkertainen lauseke kuin

$1 + 2 \cdot 3 + 4$

voidaan ymmärtää väärin. Jos haluat lisätä todennäköisyyttä sille, että ihmiset ymmärtävät, mitä yrität matemaattisella merkinnällä sanoa, lisää lausekkeeseen yksinkertaisesti sulut:

$1 + (2 \cdot 3) + 4$

« Edellinen: Miten rokotteen tehokkuus lasketaan?

Seuraava: Tietojenkäsittelytieteen suurin ongelma: P vs. NP »