Quanto é 1 + 2 + 5 · 0? Sobre a prioridade da multiplicação
De vez em quando circula nas redes sociais um desafio parecido com este. A que número é igual esta expressão?
Então vamos calcular juntos:
- Um mais dois é igual a três.
- Três mais cinco é igual a oito.
- E, por fim, oito vezes zero é igual a zero.
Você calculou assim comigo? Infelizmente, nós dois calculamos errado ‼️‼️‼️ Esquecemos da regra clássica da escola: a multiplicação tem prioridade sobre a adição. O que isso significa?
Se temos em uma expressão tanto adição quanto multiplicação, primeiro multiplicamos tudo o que pode ser multiplicado e só depois voltamos à adição. No nosso caso, isso significa que primeiro multiplicamos 5 · 0 e ignoramos todo o resto que há na expressão. Cinco vezes zero é zero. Escrevemos esse zero de volta na expressão:
Agora temos uma expressão em que há apenas adição. Aí é simples: 1 + 2 + 0 é igual a três. Portanto
Outro exemplo. A que é igual esta expressão?
Mais uma vez vale a regra de que resolvemos primeiro a multiplicação e deixamos a adição de lado. Resolvemos primeiro 2 · 3, que é 6:
Agora temos na expressão apenas adição, que é simples:
Por que na calculadora dá outro resultado?
Se você tentar calcular os mesmos exemplos em uma calculadora, pode obter um resultado tão errado quanto o de quando calculamos pela primeira vez 1 + 2 + 5 · 0. Como isso é possível? Há basicamente duas possibilidades: ou a calculadora não conhece a prioridade dos operadores, ou você aperta a tecla de igual no meio do cálculo. Se você apertar as teclas da calculadora assim:
- [Um] [mais] [dois] [igual] -> a calculadora mostra 3,
- [mais] [cinco] [igual] -> a calculadora mostra 8,
- [vezes] [zero] [igual] -> a calculadora mostra 0.
Então, na verdade, você não calculou a expressão que foi dada lá em cima, porque, ao apertar “igual”, em vez de uma única expressão você calculou três expressões diferentes e sem relação entre si. No último passo, a calculadora simplesmente calcula a expressão “oito vezes zero”, e isso é simplesmente zero, o que a calculadora mostra corretamente. A calculadora, nesse momento, não sabe que antes havia uma multiplicação que deveria ter prioridade.
Se você não apertar “igual” e calcular o exemplo inteiro como
- [Um] [mais] [dois] [mais] [cinco] [vezes] [zero]
e a calculadora continuar mostrando zero, então a sua calculadora não conhece a prioridade dos operadores, o que é bem possível. Nesse caso, você pode conferir o cálculo no Google ou no Bing, porque, além de buscar, eles também sabem calcular muito bem:
- 1 + 2 + 5 · 0 no Bing
- 1 + 2 + 5 · 0 no Google
- 1 + 2 + 5 · 0 no WolframAlpha (o WolframAlpha é uma conhecida ferramenta online para resolver todo tipo de exercício; lá você pode resolver equações, derivadas, integrais…)
Como mudar a prioridade natural dos operadores: os parênteses
Se queremos mudar a prioridade dos operadores, podemos usar parênteses. Se tivéssemos a expressão
e quiséssemos primeiro somar 1 + 2 e só depois multiplicar o resultado por cinco, poderíamos usar parênteses assim:
As expressões entre parênteses têm prioridade sobre a prioridade usual dos operadores. Calcularíamos, então, primeiro 1 + 2 e deixaríamos a multiplicação como está. Obteríamos:
que é igual a quinze. Portanto
E a divisão e a subtração?
A subtração está na mesma situação que a adição, e a divisão está na mesma situação que a multiplicação. Ou seja, a multiplicação e a divisão têm prioridade sobre a adição e a subtração. A multiplicação e a divisão têm entre si a mesma prioridade, assim como a adição e a subtração.
Como exemplo, vejamos esta expressão
Esta expressão equivale a esta, na qual escrevemos parênteses de modo que a prioridade dos operadores não mude:
E, portanto,
o que é igual a
Se tivermos multiplicação e divisão uma logo depois da outra, calculamos da esquerda para a direita, na ordem em que aparecem:
Primeiro calculamos 6 · 4, que é 24. Por enquanto, não mexemos na divisão:
E agora basta dividir 24 por oito:
Por que a multiplicação tem prioridade sobre a adição
Você poderia perguntar por que, afinal, a multiplicação tem prioridade sobre a adição. E é uma boa pergunta! Pode-se dizer que não há nada por trás disso além de um acordo entre os matemáticos de que seria assim. Não existe nenhuma regra da qual fique evidente que a multiplicação precisa ter prioridade. A matemática inteira funcionaria igualmente bem se a adição tivesse prioridade maior do que a multiplicação. Ou se ambas tivessem a mesma prioridade e sempre procedêssemos da esquerda para a direita, como quando fomos apertando as teclas da calculadora.
Por outro lado, se a adição tivesse prioridade, precisaríamos de mais parênteses. Vamos mostrar isso com uma expressão um pouco mais complicada de uma função quadrática:
Na matemática atual, essa expressão significa “três vezes x ao quadrado”, que somamos com “quatro vezes x”, que por sua vez somamos com “cinco”. Se a adição tivesse prioridade sobre a multiplicação, teríamos de usar parênteses para obter a mesma expressão:
Como usamos essa expressão e outras parecidas com ela na matemática com bastante frequência, é mais prático para os matemáticos que a multiplicação tenha prioridade sobre a adição. Mas não existe nenhum motivo do qual decorra de forma inequívoca que tenha de ser justamente assim e não de outro modo.
Se isso interessa a você, pode ler o artigo Why Multiplication Has Higher Priority than Addition: A Pedagogical Remark, cujos autores são Olga Kosheleva e Vladik Kreinovich.
Não é melhor usar parênteses?
Muitas vezes, sim. Muita gente não sabe como funcionam as prioridades da multiplicação e da adição e, por isso, até uma expressão tão simples quanto
pode ser mal interpretada. Se você quer aumentar a chance de as pessoas entenderem o que você quer dizer com a notação matemática, basta acrescentar parênteses na expressão:
