Колко е 1 + 2 + 5 · 0? За приоритета на умножението

От време на време в социалните мрежи се разпространява загадка, подобна на тази. На кое число е равен този израз?

$1 + 2 + 5 \cdot 0 = ?$

Хайде да го пресметнем заедно:

Едно плюс две е равно на три.
Три плюс пет е равно на осем.
И накрая осем по нула е равно на нула.

Така ли смяташе заедно с мен? За съжаление и двамата сметнахме погрешно ‼️‼️‼️ Забравихме класическото училищно правило: умножението има предимство пред събирането. Какво означава това?

Ако в един израз имаме и събиране, и умножение, първо умножаваме всичко, което може да се умножи, и едва след това се връщаме към събирането. В нашия случай това означава, че първо умножаваме 5 · 0 и игнорираме всичко останало в израза. Пет по нула е нула. Тази нула записваме обратно в израза:

$1 + 2 + 5 \cdot 0 = 1 + 2 + 0$

Сега вече получаваме израз, в който има само събиране. Там е лесно, 1 + 2 + 0 е равно на три. Тоест

$1 + 2 + 5 \cdot 0 = 3$

Друг пример. На какво е равно това?

$1 + 2 \cdot 3 + 4 = ?$

Отново важи правилото, че първо извършваме умножението, а събирането оставяме настрана. Първо пресмятаме 2 · 3, което е 6:

$1 + 2 \cdot 3 + 4 = 1 + 6 + 4$

А сега вече в израза имаме само събиране, което е лесно:

$1 + 6 + 4 = 11$

Защо на калкулатора излиза различно?

Ако опиташ да пресметнеш същите примери на калкулатор, може да получиш същия грешен резултат, както когато за първи път смятахме 1 + 2 + 5 · 0. Как е възможно? По същество има две възможности: или калкулаторът не познава приоритета на операторите, или по време на пресмятането натискаш знака за равно. Ако натискаш бутоните на калкулатора така:

[Едно] [плюс] [две] [равно] -> калкулаторът показва 3,
[плюс] [пет] [равно] -> калкулаторът показва 8,
[по] [нула] [равно] -> калкулаторът показва 0.

Тогава всъщност не си пресметнал примера, зададен по-горе, защото с натискането на „равно“ си пресметнал вместо един израз три различни, несвързани помежду си израза. В последната стъпка калкулаторът просто смята израза „осем по нула“, а това е просто нула, което калкулаторът ти показва правилно. В този момент калкулаторът не знае, че преди това е имало някакво умножение, което би трябвало да има предимство.

Ако не натискаш „равно“, а си въвел целия пример като

[Едно] [плюс] [две] [плюс] [пет] [по] [нула]

и калкулаторът пак показва нула, значи твоят калкулатор не познава приоритета на операторите, което е напълно възможно. В такъв случай можеш да провериш пресмятането в Google, защото освен да търси, той умее и да смята:

1 + 2 + 5 · 0 в Google
1 + 2 + 5 · 0 във WolframAlpha (WolframAlpha е известен онлайн инструмент за решаване на всякакви задачи – там можеш да решаваш уравнения, производни, интеграли…)

Как да променим естествения приоритет на операторите: скоби

Ако искаме да променим приоритета на операторите, можем да използваме скоби. Ако имаме израза

$1 + 2 \cdot 5$

и искаме първо да съберем 1 + 2 и едва след това резултата да умножим по пет, можем да използваме скоби така:

$(1 + 2) \cdot 5$

Изразите в скоби имат предимство пред обичайния приоритет на операторите. Първо бихме пресметнали 1 + 2, а умножението бихме оставили както е. Получаваме:

$(1 + 2) \cdot 5 = 3 \cdot 5$

което е равно на петнадесет. Тоест

$(1 + 2) \cdot 5 = 15.$

А делението и изваждането?

Изваждането е в същото положение като събирането, а делението – като умножението. Тоест умножението и делението имат предимство пред събирането и изваждането. Умножението и делението имат помежду си един и същ приоритет, както и събирането и изваждането.

Като пример да разгледаме този израз

$1 + 2 \cdot 3 - 8 : 4$

Този израз е същият като следния, в който дописваме скоби така, че приоритетът на операторите да не се промени:

$1 + (2 \cdot 3) - (8 : 4)$

И така

$1 + (2 \cdot 3) - (8 : 4) = 1 + 6 - 2$

което е равно на

$1 + 6 - 2 = 5.$

Ако имаме умножение и деление непосредствено едно след друго, ги смятаме отляво надясно, както ни попаднат:

$6 \cdot 4 : 8$

Първо пресмятаме 6 · 4, което е 24. Делението засега не го пипаме:

$6 \cdot 4 : 8 = 24 : 8$

А сега просто делим 24 на осем:

$24 : 8 = 3.$

Защо умножението има предимство пред събирането

Може да попиташ защо всъщност умножението има предимство пред събирането. И това е добър въпрос! Може да се каже, че зад това няма нищо друго освен споразумение между математиците, че ще е така. Няма правило, от което да е очевидно, че умножението трябва да има предимство. Цялата математика би работила също толкова добре, дори събирането да имаше по-висок приоритет от умножението. Или ако имаха еднакъв приоритет и винаги действахме отляво надясно, както когато натискахме бутоните на калкулатора.

От друга страна, ако събирането имаше предимство, щяха да са ни нужни повече скоби. Нека го покажем например с малко по-сложния израз на квадратна функция:

$3 x^{2} + 4 x + 5$

В съвременната математика този израз означава „три по x на квадрат“, което събираме с „четири по x“, което още събираме с „пет“. Ако събирането имаше предимство пред умножението, щеше да се наложи да използваме скоби, за да получим същия израз:

$(3 x^{2}) + (4 x) + 5$

Тъй като този израз и подобните му използваме в математиката доста често, за математиците е по-удобно умножението да има предимство пред събирането. Няма обаче причина, от която еднозначно да следва, че трябва да е точно така, а не иначе.

Ако те интересува повече, можеш да прочетеш статията Why Multiplication Has Higher Priority than Addition: A Pedagogical Remark, чиито автори са Olga Kosheleva и Vladik Kreinovich.

По-добре ли е да използваме скоби?

Често да. Много хора не знаят как работят приоритетите на умножението и събирането и дори толкова прост израз като

$1 + 2 \cdot 3 + 4$

може да бъде разбран погрешно. Ако искаш да увеличиш шанса хората да разберат какво искаш да кажеш с математическия запис, просто добави скоби в израза:

$1 + (2 \cdot 3) + 4$

« Предишна: Как да пресметнем ефективността на ваксината?

Следваща: Най-големият проблем в информатиката: P срещу NP »