Quanto fa 1 + 2 + 5 · 0? La precedenza della moltiplicazione
Ogni tanto sui social gira un indovinello simile a questo. A quale numero è uguale questa espressione?
Calcoliamola insieme:
- Uno più due fa tre.
- Tre più cinque fa otto.
- E infine otto per zero fa zero.
Hai calcolato anche tu così, insieme a me? Purtroppo abbiamo sbagliato tutti e due ‼️‼️‼️ Ci siamo infatti dimenticati della classica regola scolastica: la moltiplicazione ha la precedenza sull’addizione. Che cosa significa?
Se in un’espressione ci sono sia addizioni sia moltiplicazioni, per prima cosa eseguiamo tutte le moltiplicazioni possibili e solo dopo torniamo alle addizioni. Nel nostro caso significa che per prima cosa moltiplichiamo 5 · 0 e ignoriamo tutto il resto dell’espressione. Cinque per zero fa zero. Questo zero lo riscriviamo nell’espressione:
Ora abbiamo un’espressione con soltanto addizioni. Qui è facile: 1 + 2 + 0 è uguale a tre. Quindi
Un altro esempio. A che cosa è uguale questa espressione?
Di nuovo vale la regola: prima risolviamo la moltiplicazione e lasciamo stare l’addizione. Per prima cosa calcoliamo quindi 2 · 3, che fa 6:
Ora nell’espressione abbiamo solo addizioni, ed è facile:
Perché sulla calcolatrice il risultato viene diverso?
Se provi a calcolare gli stessi esempi con la calcolatrice, può venirti un risultato sbagliato come quello che avevamo ottenuto la prima volta con 1 + 2 + 5 · 0. Come è possibile? Ci sono in sostanza due possibilità: o la calcolatrice non conosce la precedenza degli operatori, oppure durante il calcolo premi il tasto di uguale. Se infatti premi i tasti così:
- [Uno] [più] [due] [uguale] -> la calcolatrice mostra 3,
- [più] [cinque] [uguale] -> la calcolatrice mostra 8,
- [per] [zero] [uguale] -> la calcolatrice mostra 0.
in realtà non hai calcolato l’espressione assegnata sopra, perché premendo «uguale» hai calcolato, al posto di una sola espressione, tre espressioni diverse e senza alcun legame tra loro. Nell’ultimo passaggio la calcolatrice calcola semplicemente l’espressione «otto per zero», che fa proprio zero, e questo te lo mostra correttamente. In quel momento la calcolatrice non sa che prima c’era una moltiplicazione che avrebbe dovuto avere la precedenza.
Se invece non premi «uguale» ma inserisci l’intera espressione così
- [Uno] [più] [due] [più] [cinque] [per] [zero]
e la calcolatrice mostra ancora zero, vuol dire che la tua calcolatrice non conosce la precedenza degli operatori, il che è benissimo possibile. In tal caso puoi verificare il calcolo su Google, perché oltre a cercare sa anche calcolare bene:
- 1 + 2 + 5 · 0 su Google
- 1 + 2 + 5 · 0 su WolframAlpha (WolframAlpha è un noto strumento online per calcolare ogni genere di esercizio: ci puoi risolvere equazioni, derivate, integrali…)
Come cambiare la precedenza naturale degli operatori: le parentesi
Se vogliamo cambiare la precedenza degli operatori, possiamo usare le parentesi. Se avessimo l’espressione
e volessimo sommare prima 1 + 2 e moltiplicare per cinque solo il risultato, possiamo usare le parentesi così:
Le espressioni tra parentesi prevalgono sulla normale precedenza degli operatori. Per prima cosa calcoleremmo quindi 1 + 2 e la moltiplicazione la lasceremmo com’è. Otterremmo:
che è uguale a quindici. Quindi
E la divisione e la sottrazione?
La sottrazione si comporta come l’addizione e la divisione come la moltiplicazione. Quindi moltiplicazione e divisione hanno la precedenza su addizione e sottrazione. Moltiplicazione e divisione hanno tra loro la stessa priorità, e lo stesso vale per addizione e sottrazione.
Come esempio guardiamo questa espressione
Questa espressione è identica a quest’altra, in cui abbiamo aggiunto le parentesi in modo da non cambiare la precedenza degli operatori:
E quindi
che è uguale a
Se abbiamo una moltiplicazione e una divisione una dopo l’altra, le calcoliamo da sinistra a destra, nell’ordine in cui ci capitano sotto mano:
Calcoliamo prima 6 · 4, che fa 24. La divisione per ora non la tocchiamo:
E ora dividiamo soltanto 24 per otto:
Perché la moltiplicazione ha la precedenza sull’addizione
Potresti chiederti perché la moltiplicazione abbia la precedenza sull’addizione. Ed è una bella domanda! Si può dire che dietro non ci sia altro che un accordo tra i matematici: si fa così. Non esiste nessuna regola da cui risulti ovvio che la moltiplicazione debba avere la precedenza. Tutta la matematica funzionerebbe altrettanto bene anche se l’addizione avesse una priorità più alta della moltiplicazione. Oppure se avessero la stessa priorità e procedessimo sempre da sinistra a destra, come quando premevamo i tasti sulla calcolatrice.
D’altra parte, se l’addizione avesse la precedenza, ci servirebbero più parentesi. Vediamolo su un’espressione un po’ più complicata, quella di una funzione quadratica:
Nella matematica attuale questa espressione significa «tre per x al quadrato», a cui sommiamo «quattro per x», a cui poi sommiamo «cinque». Se l’addizione avesse la precedenza sulla moltiplicazione, dovremmo usare le parentesi per ottenere la stessa espressione:
Poiché questa espressione e altre simili le usiamo in matematica piuttosto spesso, per i matematici è più pratico che la moltiplicazione abbia la precedenza sull’addizione. Non c’è però nessun motivo da cui risulti in modo inequivocabile che debba essere proprio così e non altrimenti.
Se la cosa ti interessa di più, puoi leggere l’articolo Why Multiplication Has Higher Priority than Addition: A Pedagogical Remark, di Olga Kosheleva e Vladik Kreinovich.
Non è meglio usare le parentesi?
Spesso sì. Molte persone non sanno come funziona la precedenza di moltiplicazione e addizione, e anche un’espressione semplice come
può essere capita male. Se vuoi aumentare le probabilità che chi legge capisca ciò che vuoi dire con la scrittura matematica, aggiungi semplicemente le parentesi all’espressione:
