Πόσο κάνει 1 + 2 + 5 · 0; Για την προτεραιότητα του πολλαπλασιασμού

Κάθε τόσο κυκλοφορεί στα κοινωνικά δίκτυα ένας γρίφος σαν αυτόν. Με ποιον αριθμό ισούται αυτή η παράσταση;

$$1+2+5\cdot 0=?$$

Ας το υπολογίσουμε μαζί:

• Ένα συν δύο ίσον τρία.
• Τρία συν πέντε ίσον οκτώ.
• Και τέλος, οκτώ επί μηδέν ίσον μηδέν.

Υπολόγισες κι εσύ έτσι μαζί μου; Δυστυχώς και οι δύο κάναμε λάθος ‼️‼️‼️ Ξεχάσαμε τον γνωστό σχολικό κανόνα: ο πολλαπλασιασμός προηγείται της πρόσθεσης. Τι σημαίνει αυτό;

Αν σε μία παράσταση έχουμε και πρόσθεση και πολλαπλασιασμό, πρώτα πολλαπλασιάζουμε ό,τι μπορεί να πολλαπλασιαστεί και μόνο μετά επιστρέφουμε στην πρόσθεση. Στην περίπτωσή μας αυτό σημαίνει ότι πρώτα κάνουμε τον πολλαπλασιασμό 5 · 0 και αγνοούμε όλα τα υπόλοιπα της παράστασης. Πέντε επί μηδέν κάνει μηδέν. Αυτό το μηδέν το γράφουμε πάλι στην παράσταση:

$$1+2+5\cdot 0=1+2+0$$

Τώρα έχουμε μια παράσταση που περιέχει μόνο πρόσθεση. Εκεί είναι εύκολο, το 1 + 2 + 0 κάνει τρία. Άρα

$$1+2+5\cdot 0=3$$

Ένα άλλο παράδειγμα. Πόσο κάνει αυτό;

$$1+2\cdot 3+4=?$$

Και πάλι ισχύει ο κανόνας ότι πρώτα κάνουμε τον πολλαπλασιασμό και αφήνουμε την πρόσθεση ήσυχη. Πρώτα λοιπόν υπολογίζουμε το 2 · 3, που κάνει 6:

$$1+2\cdot 3+4=1+6+4$$

Και τώρα η παράσταση έχει μόνο πρόσθεση, που είναι εύκολη:

$$1+6+4=11$$

Γιατί στον υπολογιστή τσέπης βγαίνει αλλιώς;

Αν δοκιμάσεις να υπολογίσεις τα ίδια παραδείγματα σε έναν υπολογιστή τσέπης, μπορεί να σου βγει το ίδιο λάθος αποτέλεσμα όπως όταν υπολογίσαμε για πρώτη φορά το 1 + 2 + 5 · 0. Πώς γίνεται αυτό; Υπάρχουν ουσιαστικά δύο πιθανότητες: είτε ο υπολογιστής δεν γνωρίζει τις προτεραιότητες των πράξεων είτε πατάς το ίσον στη μέση του υπολογισμού. Αν πατήσεις τα κουμπιά ως εξής:

• [Ένα] [συν] [δύο] [ίσον] -> ο υπολογιστής δείχνει 3,
• [συν] [πέντε] [ίσον] -> ο υπολογιστής δείχνει 8,
• [επί] [μηδέν] [ίσον] -> ο υπολογιστής δείχνει 0.

τότε στην πραγματικότητα δεν υπολόγισες την παράσταση που δόθηκε παραπάνω, γιατί πατώντας «ίσον» υπολόγισες, αντί για μία παράσταση, τρεις διαφορετικές παραστάσεις που δεν σχετίζονται μεταξύ τους. Στο τελευταίο βήμα ο υπολογιστής απλώς υπολογίζει την παράσταση «οκτώ επί μηδέν» και αυτό είναι απλώς μηδέν, και ο υπολογιστής σου το δείχνει σωστά. Εκείνη τη στιγμή ο υπολογιστής δεν ξέρει ότι πριν υπήρχε κάποιος πολλαπλασιασμός που έπρεπε να προηγηθεί.

Αν δεν πατάς «ίσον», αλλά υπολόγισες ολόκληρη την άσκηση ως

• [Ένα] [συν] [δύο] [συν] [πέντε] [επί] [μηδέν]

και ο υπολογιστής εξακολουθεί να δείχνει μηδέν, τότε ο υπολογιστής σου δεν γνωρίζει τις προτεραιότητες των πράξεων, κάτι που είναι απολύτως πιθανό. Σε αυτή την περίπτωση μπορείς να επαληθεύσεις τον υπολογισμό 1 + 2 + 5 · 0 στο Google, που εκτός από αναζήτηση ξέρει να υπολογίζει και πολύ καλά:

• 1 + 2 + 5 · 0 στο Google
• 1 + 2 + 5 · 0 στο WolframAlpha (το WolframAlpha είναι ένα γνωστό διαδικτυακό εργαλείο για τον υπολογισμό κάθε λογής ασκήσεων, μπορείς να λύσεις εκεί εξισώσεις, παραγώγους, ολοκληρώματα…)

Πώς αλλάζουμε τη φυσική προτεραιότητα των πράξεων: οι παρενθέσεις

Αν θέλουμε να αλλάξουμε την προτεραιότητα των πράξεων, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε παρενθέσεις. Αν είχαμε την παράσταση

$$1+2\cdot 5$$

και θέλαμε πρώτα να προσθέσουμε 1 + 2 και μόνο το αποτέλεσμα να το πολλαπλασιάσουμε με το πέντε, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε παρενθέσεις ως εξής:

$$(1+2)\cdot 5$$

Οι παραστάσεις μέσα στην παρένθεση προηγούνται της συνηθισμένης προτεραιότητας των πράξεων. Πρώτα λοιπόν θα υπολογίζαμε το 1 + 2 και τον πολλαπλασιασμό θα τον αφήναμε όπως είναι. Θα παίρναμε:

$$(1+2)\cdot 5=3\cdot 5$$

που ισούται με δεκαπέντε. Άρα

$$(1+2)\cdot 5=15.$$

Και η διαίρεση και η αφαίρεση;

Η αφαίρεση βρίσκεται στην ίδια θέση με την πρόσθεση και η διαίρεση στην ίδια θέση με τον πολλαπλασιασμό. Άρα ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση προηγούνται της πρόσθεσης και της αφαίρεσης. Ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση έχουν μεταξύ τους την ίδια προτεραιότητα, και το ίδιο ισχύει για την πρόσθεση και την αφαίρεση.

Για παράδειγμα, ας δούμε αυτή την παράσταση

$$1+2\cdot 3-8:4$$

Αυτή η παράσταση είναι ίδια με την επόμενη, στην οποία προσθέτουμε παρενθέσεις έτσι ώστε να μην αλλάξει η προτεραιότητα των πράξεων:

$$1+(2\cdot 3)-(8:4)$$

Και άρα

$$1+(2\cdot 3)-(8:4)=1+6-2$$

που ισούται με

$$1+6-2=5.$$

Αν έχουμε πολλαπλασιασμό και διαίρεση ο ένας αμέσως μετά τον άλλον, τους υπολογίζουμε από αριστερά προς τα δεξιά, όπως έρχονται:

$$6\cdot 4:8$$

Πρώτα υπολογίζουμε το 6 · 4, που κάνει 24. Τη διαίρεση προς το παρόν δεν την αγγίζουμε:

$$6\cdot 4:8=24:8$$

Και τώρα απλώς διαιρούμε το 24 με το οκτώ:

$$24:8=3.$$

Γιατί ο πολλαπλασιασμός προηγείται της πρόσθεσης

Θα μπορούσες να ρωτήσεις γιατί στην πραγματικότητα ο πολλαπλασιασμός προηγείται της πρόσθεσης. Και είναι καλή ερώτηση! Μπορούμε να πούμε ότι πίσω από αυτό δεν κρύβεται τίποτα άλλο παρά μια συμφωνία των μαθηματικών ότι έτσι θα είναι. Δεν υπάρχει κανένας κανόνας από τον οποίο να προκύπτει ότι ο πολλαπλασιασμός πρέπει να προηγείται. Όλα τα μαθηματικά θα λειτουργούσαν το ίδιο καλά ακόμη κι αν η πρόσθεση είχε μεγαλύτερη προτεραιότητα από τον πολλαπλασιασμό. Ή αν είχαν ίση προτεραιότητα και προχωρούσαμε πάντα από αριστερά προς τα δεξιά, όπως όταν πατούσαμε τα κουμπιά στον υπολογιστή τσέπης.

Από την άλλη, αν προηγούνταν η πρόσθεση, θα χρειαζόμασταν περισσότερες παρενθέσεις. Ας το δείξουμε σε μια λίγο πιο σύνθετη παράσταση τετραγωνικής συνάρτησης:

$$3x^2+4x+5$$

Στα σημερινά μαθηματικά αυτή η παράσταση σημαίνει «τρία επί x στο τετράγωνο», στο οποίο προσθέτουμε το «τέσσερα επί x» και ακόμη το «πέντε». Αν η πρόσθεση προηγούνταν του πολλαπλασιασμού, θα έπρεπε να χρησιμοποιήσουμε παρενθέσεις για να πάρουμε την ίδια παράσταση:

$$\left(3x^2\right)+(4x)+5$$

Επειδή αυτή την παράσταση και παρόμοιες με αυτήν τις χρησιμοποιούμε στα μαθηματικά αρκετά συχνά, είναι πιο πρακτικό για τους μαθηματικούς ο πολλαπλασιασμός να προηγείται της πρόσθεσης. Δεν υπάρχει όμως κανένας λόγος από τον οποίο να προκύπτει αναμφίβολα ότι πρέπει να είναι ακριβώς έτσι και όχι αλλιώς.

Αν σε ενδιαφέρει περισσότερο, μπορείς να διαβάσεις το άρθρο Why Multiplication Has Higher Priority than Addition: A Pedagogical Remark, με συγγραφείς τους Olga Kosheleva και Vladik Kreinovich.

Δεν είναι καλύτερο να χρησιμοποιούμε παρενθέσεις;

Συχνά ναι. Πολλοί άνθρωποι δεν ξέρουν πώς λειτουργούν οι προτεραιότητες του πολλαπλασιασμού και της πρόσθεσης, και ακόμη και μια τόσο απλή παράσταση όπως

$$1+2\cdot 3+4$$

μπορεί να γίνει λάθος κατανοητή. Αν θέλεις να αυξήσεις τις πιθανότητες να καταλάβουν οι άνθρωποι τι θέλεις να πεις με τον μαθηματικό συμβολισμό, απλώς πρόσθεσε παρενθέσεις στην παράσταση:

$$1+(2\cdot 3)+4$$