✖

Combien font 1 + 2 + 5 · 0 ? La priorité de la multiplication

Une devinette comme celle-ci circule régulièrement sur les réseaux sociaux. À quel nombre cette expression est-elle égale ?

1+2+5⋅0=?

Calculons-la ensemble :

  • Un plus deux égale trois.
  • Trois plus cinq égale huit.
  • Et enfin, huit fois zéro égale zéro.

As-tu calculé comme moi ? Hélas, nous nous sommes trompés tous les deux ‼️‼️‼️ Nous avons oublié la règle classique de l’école : la multiplication est prioritaire sur l’addition. Qu’est-ce que cela signifie ?

Si une même expression contient à la fois des additions et des multiplications, nous effectuons d’abord toutes les multiplications possibles, et ce n’est qu’ensuite que nous revenons aux additions. Dans notre cas, cela signifie que nous multiplions d’abord 5 · 0 en ignorant tout le reste de l’expression. Cinq fois zéro égale zéro. Nous réécrivons ce zéro dans l’expression :

1+2+5⋅0=1+2+0

Nous obtenons maintenant une expression qui ne contient que des additions. Là, c’est simple : 1 + 2 + 0 est égal à trois. Donc

1+2+5⋅0=3

Un autre exemple. À quoi est égale cette expression ?

1+2⋅3+4=?

De nouveau, la règle s’applique : nous effectuons d’abord la multiplication et nous laissons les additions tranquilles. Nous calculons donc d’abord 2 · 3, qui vaut 6 :

1+2⋅3+4=1+6+4

Il ne reste maintenant que des additions, c’est simple :

1+6+4=11

Pourquoi le résultat est-il différent sur la calculatrice ?

Si tu essaies de calculer les mêmes exemples sur une calculatrice, tu peux obtenir le même résultat faux que lorsque nous avons calculé 1 + 2 + 5 · 0 la première fois. Comment est-ce possible ? Il y a en gros deux possibilités : soit la calculatrice ne connaît pas les priorités opératoires, soit tu appuies sur la touche « égal » en cours de calcul. Si tu appuies sur les touches de la calculatrice ainsi :

  • [1] [plus] [2] [égal] -> la calculatrice affiche 3,
  • [plus] [5] [égal] -> la calculatrice affiche 8,
  • [fois] [0] [égal] -> la calculatrice affiche 0.

Tu n’as en fait pas calculé l’expression donnée plus haut, car en appuyant sur « égal », tu as calculé, au lieu d’une seule expression, trois expressions différentes et sans lien entre elles. À la dernière étape, la calculatrice calcule simplement l’expression « huit fois zéro », qui vaut bien zéro, et elle l’affiche correctement. À ce moment-là, la calculatrice ne sait pas qu’il y avait auparavant une multiplication qui aurait dû être prioritaire.

Si tu n’appuies pas sur « égal », mais que tu as calculé l’exemple complet ainsi :

  • [1] [plus] [2] [plus] [5] [fois] [0]

et que la calculatrice affiche toujours zéro, alors ta calculatrice ne connaît pas les priorités opératoires, ce qui est tout à fait possible. Dans ce cas, tu peux vérifier le calcul sur Google, car en plus de chercher, il sait aussi très bien calculer :

Comment changer les priorités opératoires : les parenthèses

Si nous voulons changer l’ordre des opérations, nous pouvons utiliser des parenthèses. Si nous avions l’expression

1+2⋅5

et que nous voulions d’abord additionner 1 + 2 et ne multiplier par cinq qu’ensuite, nous pourrions utiliser des parenthèses ainsi :

(1+2)⋅5

Les calculs entre parenthèses passent avant les priorités opératoires habituelles. Nous calculerions donc d’abord 1 + 2 et nous laisserions la multiplication telle quelle. Nous obtiendrions :

(1+2)⋅5=3⋅5

ce qui est égal à quinze. Donc

(1+2)⋅5=15.

Et la division et la soustraction ?

La soustraction se comporte comme l’addition et la division comme la multiplication. Ainsi, la multiplication et la division sont prioritaires sur l’addition et la soustraction. La multiplication et la division ont la même priorité entre elles, de même que l’addition et la soustraction.

Par exemple, regardons cette expression

1+2⋅3−8:4

Cette expression est identique à celle-ci, où nous ajoutons des parenthèses de façon à ne pas changer l’ordre des opérations :

1+(2⋅3)−(8:4)

Donc

1+(2⋅3)−(8:4)=1+6−2

ce qui est égal à

1+6−2=5.

Si nous avons une multiplication et une division à la suite, nous les calculons de gauche à droite, dans l’ordre où elles se présentent :

6⋅4:8

Nous calculons d’abord 6 · 4, qui vaut 24. Nous ne touchons pas encore à la division :

6⋅4:8=24:8

Et il ne reste qu’à diviser 24 par huit :

24:8=3.

Pourquoi la multiplication est prioritaire sur l’addition

Tu pourrais te demander pourquoi, au juste, la multiplication est prioritaire sur l’addition. Et c’est une bonne question ! On peut dire qu’il n’y a derrière rien d’autre qu’une convention entre mathématiciens. Il n’existe aucune règle dont il découlerait que la multiplication doit être prioritaire. Toutes les mathématiques fonctionneraient aussi bien si l’addition avait une priorité plus élevée que la multiplication. Ou si elles avaient la même priorité et que nous procédions toujours de gauche à droite, comme lorsque nous avons tapé sur la calculatrice.

D’un autre côté, si l’addition était prioritaire, il nous faudrait plus de parenthèses. Voyons-le sur une expression un peu plus compliquée, celle d’une fonction polynôme du second degré :

3x2+4x+5

Dans les mathématiques actuelles, cette expression signifie « trois fois x au carré », que nous additionnons à « quatre fois x », que nous additionnons encore à « cinq ». Si l’addition était prioritaire sur la multiplication, il faudrait utiliser des parenthèses pour obtenir la même expression :

(3x2)+(4x)+5

Comme nous utilisons assez souvent cette expression et d’autres semblables en mathématiques, il est plus pratique pour les mathématiciens que la multiplication soit prioritaire sur l’addition. Mais il n’existe aucune raison qui impose clairement qu’il en soit ainsi plutôt qu’autrement.

Si le sujet t’intéresse davantage, tu peux lire l’article Why Multiplication Has Higher Priority than Addition: A Pedagogical Remark, dont les auteurs sont Olga Kosheleva et Vladik Kreinovich.

Vaut-il mieux utiliser des parenthèses ?

Souvent, oui. Beaucoup de gens ne savent pas comment fonctionnent les priorités de la multiplication et de l’addition, et même une expression aussi simple que

1+2⋅3+4

peut être mal comprise. Si tu veux augmenter les chances que les gens comprennent ce que tu veux dire par ton écriture mathématique, ajoute simplement des parenthèses à l’expression :

1+(2⋅3)+4