Całkowanie przez części

Całkowanie przez części (łac. per partes) stosujemy wtedy, gdy chcemy znaleźć funkcję pierwotną funkcji, która ma postać iloczynu.

Wyprowadzenie wzoru

Wyprowadzenie oprzemy na klasycznym wzorze na pochodną iloczynu.

$$ (u\cdot v)^{\prime} = u^{\prime}\cdot v+u\cdot v^{\prime} $$

Załóżmy więc, że mamy funkcje u i v, które są na jakimś przedziale J różniczkowalne, tzn. istnieją $u^{\prime}$ i $v^{\prime}$. Teraz scałkujemy obie strony. Dostajemy:

$$ \int (u\cdot v)^{\prime} = \int u^{\prime}\cdot v+\int u\cdot v^{\prime} $$

Z lewej strony możemy usunąć całkę i pochodną, bo jeśli jakąś funkcję zróżniczkujemy, a potem z powrotem scałkujemy, dostaniemy wyjściową funkcję (z dokładnością do stałej c).

$$ u\cdot v = \int u^{\prime}\cdot v+\int u\cdot v^{\prime} $$

Wyznaczymy całkę, w której różniczkujemy funkcję v:

$$ \int u\cdot v^{\prime} = u\cdot v - \int u^{\prime}\cdot v $$

Funkcja $u\cdot v - \int u^{\prime}\cdot v$ jest więc funkcją pierwotną funkcji $u\cdot v^{\prime}$. Z tego będziemy dalej korzystać.

Pierwszy przykład

Na przykładzie pokażemy, jak będziemy stosować całkowanie przez części. Obliczymy całkę

$$ \int x\cdot \cos x \mbox{ d}x $$

Takiego przykładu nie da się rozwiązać zwykłymi sposobami, które poznaliśmy w podstawowym artykule o całkach. Ponieważ dana funkcja ma postać iloczynu, użyjemy całkowania przez części.

We wzorze

$$ \int u\cdot v^{\prime} = u\cdot v - \int u^{\prime}\cdot v $$

mamy funkcje u i v, które musimy jakoś sensownie wybrać. Czego się więc teraz od nas oczekuje? Według poprzedniego wzoru umiemy obliczyć całkę $\int u\cdot v^{\prime}$. W zadaniu nie mamy jednak nic takiego, mamy tam x · cos x, nigdzie nie ma pochodnej v, której wymaga wzór. Musimy więc rozłożyć funkcję x · cos x na iloczyn dwóch funkcji. O jednej funkcji powiemy, że to będzie u, a o drugiej, że $v^{\prime}$.

Dobry wybór jest bardzo ważny, bo przy złym wyborze raczej sobie wszystko skomplikujemy. Zobacz, co dostaniemy po prawej stronie, jeśli użyjemy poprzedniego wzoru. Z wyrażeniem u · v nie będzie kłopotu, ale będziemy musieli obliczyć całkę $\int u^{\prime} \cdot v$. Funkcję u powinniśmy więc umieć zróżniczkować, a funkcję $v^{\prime}$ powinniśmy umieć scałkować.

Funkcje wybierzemy tak:

$$ u = x,\qquad v^{\prime} = \cos x $$

W ten sposób dostaliśmy lewą stronę równania, bo w całce jest tam właśnie iloczyn $u \cdot v^{\prime}$. Po prawej stronie mamy dalej iloczyn u · v i kolejną całkę. Musimy więc obliczyć $u^{\prime}$ i v. Pochodna u jest prosta:

$$ u^{\prime} = x^{\prime} = 1 $$

Teraz musimy z $v^{\prime}$ obliczyć v, czyli scałkujemy $v^{\prime}$. Jeszcze raz — wybraliśmy, że $v^{\prime} = \cos x$. Jednak po prawej stronie równania pracujemy z wartością v, bez pochodnej. Innymi słowy, jeśli zróżniczkujemy to v, które jest w funkcji podcałkowej po prawej stronie równania, musimy dostać właśnie wybrane przez nas $v^{\prime}$ z lewej strony równania. Szukamy więc funkcji, która po zróżniczkowaniu będzie równa cos x. Inaczej mówiąc — całkujemy $v^{\prime}$.

$$ v=\int v^{\prime}=\int \cos x = \sin x $$

Zapiszmy w tabelce, co już wiemy:

$$\begin{bmatrix} u = x,&v^{\prime}=\cos x\\ u^{\prime} = 1, &v=\sin x \end{bmatrix}$$

Z tej tabelki podstawimy do wzoru

$$ \int u\cdot v^{\prime} = u\cdot v - \int u^{\prime}\cdot v, $$

i dostaniemy to:

$$ \int x \cdot \cos x = x\cdot \sin x -\int 1\cdot\sin x $$

Widzimy, że udało nam się przekształcić całkę do innej postaci, którą rozwiążemy już łatwiej. Wyrażenia x · sin x nie będziemy już dalej przekształcać, tylko obliczymy całkę po prawej stronie. To już jest prosta całka tablicowa:

$$ \int \sin x \mbox{ d}x = -\cos x + c $$

Możemy więc zapisać, że

$$\begin{eqnarray} \int x \cdot \cos x &=& x\cdot \sin x -\int 1\cdot\sin x\\ &=& x\cdot \sin x - (-\cos x)\\ &=& x\cdot \sin x + \cos x+c \end{eqnarray}$$

I to już jest wynik.

Zły wybór funkcji

Na tym przykładzie pokażemy jeszcze, co by się stało, gdybyśmy funkcje u i $v^{\prime}$ wybrali inaczej. Wcześniej wybraliśmy

$$ u = x,\qquad v^{\prime} = \cos x, $$

więc teraz spróbujemy odwrotnie:

$$ u = \cos x,\qquad v^{\prime} = x $$

Obliczymy wartości $u^{\prime}$ i v. Dostaniemy:

$$ u^{\prime}=(\cos x)^{\prime} = -\sin x $$

Teraz scałkujemy $v^{\prime}$:

$$ \int x \mbox{ d}x=\frac{x^2}{2} $$

Zapiszmy to w tabelce:

$$ \begin{bmatrix} u = \cos x,&v^{\prime}=x\\ u^{\prime} = -\sin x,&v=\frac{x^2}{2} \end{bmatrix} $$

Podstawimy do wzoru:

$$ \int x\cos x = \cos x\cdot\frac{x^2}{2}-\int -\sin x\cdot\frac{x^2}{2} $$

Widzimy, że niewiele nam to pomogło. W zadaniu mamy całkę z x · cos x, a teraz całkowanie przez części doprowadziło nas do całki z $-\sin x\cdot\frac{x^2}{2}$. Tędy droga nie prowadzi.

Jak wybierać funkcje u i v'

Niestety nie istnieje żadna uniwersalna reguła, trzeba mieć trochę wyczucia. Pomaga też, gdy spojrzysz, co z tymi funkcjami będziesz dalej robić. Podstawowy wzór, z którego wychodzimy, wygląda tak:

$$ \int u\cdot v^{\prime} = u\cdot v - \int u^{\prime}\cdot v $$

Jeśli całkujemy funkcję f, która ma postać iloczynu, staramy się ją rozłożyć na funkcje u i $v^{\prime}$ tak, żeby $f = u \cdot v^{\prime}$. Celem całkowania przez części jest to, żeby całka po prawej stronie $\int u^{\prime} \cdot v$ była prostsza niż całka po lewej stronie. Wyrażenie u · v niezbyt nas obchodzi, może być dowolnie skomplikowane.

Żeby całka po prawej stronie była prostsza, warto wybrać jako u taką funkcję, która po zróżniczkowaniu się uprości. Zwykle chodzi o funkcje typu xⁿ, w których po zróżniczkowaniu wykładnik zmniejszy się o jeden. Na przykład z x² dostaniemy 2x, a z x dostaniemy 1 — to jest zupełnie idealne.

Za to jako $v^{\prime}$ staramy się brać coś, co po scałkowaniu nie będzie bardziej skomplikowane. Zwykle nie możemy oczekiwać, że po scałkowaniu $v^{\prime}$ dostaniemy prostszą funkcję, ale możemy liczyć na funkcję mniej więcej tak samo skomplikowaną. Typowo chodzi o sinus i cosinus, bo jeden po scałkowaniu przechodzi w drugi, co nam nie przeszkadza.

Drugi przykład

Spróbujmy jakiegoś trudniejszego przykładu:

$$ \int x^2\cdot e^x \mbox{ d}x $$

Całka z funkcji e^x to znowu e^x, więc będzie to idealny kandydat do całkowania. Natomiast różniczkując x², dostaniemy 2x, a to jest prostsze wyrażenie. Funkcje wybierzemy więc tak:

$$ u=x^2,\qquad v^{\prime}=e^x $$

Cała tabelka będzie wyglądać tak:

$$ \begin{bmatrix} u=x^2,&v^{\prime}=e^x\\ u^{\prime}=2x,&v=e^x \end{bmatrix} $$

Podstawimy do wzoru:

$$ \int x^2\cdot e^x \mbox{ d}x = x^2\cdot e^x - \int 2x \cdot e^x \mbox{ d}x $$

Dostaliśmy prostszą całkę, ale wciąż nie potrafimy jej od razu obliczyć. Całkujemy więc przez części jeszcze raz. Teraz będziemy obliczać tę całkę:

$$ \int 2x \cdot e^x \mbox{ d}x $$

Postępujemy tak samo jak w poprzednim kroku. Funkcje wybierzemy tak:

$$ \begin{bmatrix} u=2x,&v^{\prime}=e^x\\ u^{\prime}=2,&v=e^x \end{bmatrix} $$

I dostaniemy:

$$ \int 2x \cdot e^x \mbox{ d}x = 2x \cdot e^x - \int 2e^x \mbox{ d}x $$

Liczbę 2 wyłączymy przed całkę i dostaniemy:

$$ \int 2x \cdot e^x \mbox{ d}x = 2x \cdot e^x - 2\cdot\int e^x \mbox{ d}x $$

A całka z e^x to znowu e^x:

$$ \int 2x \cdot e^x \mbox{ d}x = 2x \cdot e^x - 2\cdot e^x $$

Ten wynik podstawimy z powrotem do poprzedniego równania:

$$ \int x^2\cdot e^x \mbox{ d}x = x^2\cdot e^x - \int 2x \cdot e^x \mbox{ d}x $$

Po podstawieniu dostaniemy:

$$ \int x^2\cdot e^x \mbox{ d}x = x^2\cdot e^x - (2x \cdot e^x - 2\cdot e^x) $$

Teraz już tylko trochę uporządkujemy wynik do bardziej ludzkiej postaci. Najpierw pozbędziemy się nawiasu, mnożąc jego zawartość przez −1, a potem wyłączymy e^x:

$$\begin{eqnarray} \int x^2\cdot e^x \mbox{ d}x &=& x^2\cdot e^x - (2x \cdot e^x - 2\cdot e^x)\\ &=& x^2\cdot e^x - 2x \cdot e^x + 2\cdot e^x\\ &=& e^x (x^2-2x+2) \end{eqnarray}$$

I mamy wynik.

Całka z logarytmu

To klasyk całkowania przez części. Spójrz na treść tej legendarnej całki:

$$ \int \ln x \mbox{ d}x $$

Ciekawe w tej całce jest to, że chociaż nie ma w niej żadnego iloczynu, rozwiążemy ją przez części. Po prostu pomnożymy logarytm przez jedynkę. Nie zmienimy przez to funkcji, którą całkujemy, ale pojawi się mnożenie.

$$ \int 1\cdot\ln x \mbox{ d}x $$

Jak wybrać funkcje u i $v^{\prime}$? Funkcji ln x na razie nie umiemy scałkować (właśnie szukamy jej całki), więc logarytm będziemy różniczkować. Całkować będziemy jedynkę. Stąd dostajemy:

$$ u = \ln x, \qquad v^{\prime} = 1 $$

Pochodna logarytmu to 1/x:

$$ (\ln x)^{\prime} = \frac1x $$

a całka z jedynki to x:

$$ \int 1 \mbox{ d}x = x $$

Uzupełnimy tabelkę:

$$ \begin{bmatrix} u=\ln x,&v^{\prime}=1\\ u^{\prime}=\frac1x,&v=x \end{bmatrix} $$

I podstawimy do wzoru:

$$ \int \ln x \mbox{ d}x=x\cdot\ln x-\int \frac1x\cdot x \mbox{ d}x $$

Obliczymy całkę po prawej stronie:

$$ \int\frac1x\cdot x \mbox{ d}x = \int 1 \mbox{ d}x = x $$

Dostajemy więc wynik:

$$ \int \ln x \mbox{ d}x=x\cdot\ln x-x+c $$