Całka oznaczona

Całka oznaczona służy do mierzenia pola figur, które są opisane jakąś funkcją.

Motywacja

Weźmy funkcję $f(x) = \sin(x) + \frac{x}{4}$. Moglibyśmy teraz zapytać — jak duże jest pole pod wykresem od punktu a = 0 do punktu b = 10? Interesuje nas więc pole obszaru, który jest ograniczony osią x, wykresem funkcji f i pionowymi prostymi w punktach a i b. Wszystko podsumowuje rysunek:

Interesuje nas pole obszaru zaznaczonego na niebiesko. Jak moglibyśmy je wyznaczyć? Możemy postąpić tak, że podzielimy cały niebieski obszar na kilka mniejszych części, obliczymy pola tych mniejszych części i wszystkie te cząstkowe pola dodamy. Żeby obliczyć pola mniejszych części, muszą one mieć jakiś rozsądny kształt, tak żebyśmy mogli obliczyć ich pole za pomocą jakiegoś wzoru. Nasuwa się prostokąt.

Najpierw wybierzemy rosnący ciąg punktów x₀ aż do x_n takich, że x₀ = a, x_n = b. Im większe n, tym dokładniejszy wynik dostaniemy. Wybierzemy prosty ciąg x₀ = 0, x₁ = 1, x₂ = 2, …, x₁₀ = 10. Z sąsiednich punktów utworzymy przedziały <x_i, x_{i + 1}>, tzn. otrzymamy zbiór przedziałów

$$ D = \left\{\left<0, 1\right>, \left<1, 2\right>, \left<2, 3\right>, \ldots, \left<9, 10\right>\right\} $$

Pierwszy przedział oznaczymy D₁, drugi D₂ itd. Dalej znajdziemy najmniejsze wartości funkcji f w każdym przedziale D_i. Na przykład w D₁ funkcja f ma najmniejszą wartość dla x = 0 i f(0) = 0. W D₂ najmniejsza wartość jest w punkcie x = 1 i $f(1)=\sin(1)+\frac14 \approx 1,0915$. I tak dalej. Te wartości funkcji sobie oznaczymy. Najmniejszą wartość funkcji w przedziale D_i oznaczymy m_i. Czyli $m_1 = 0, m_2 \approx 1,0915$ itd.

Teraz narysujemy na wykresie prostokąty. i-ty prostokąt będzie miał szerokość x_i − x_{i − 1} i wysokość m_i:

Widzimy, że każdemu przedziałowi odpowiada jeden prostokąt, który leży cały pod wykresem, a jednocześnie jest najwyższy z możliwych. Wysokość każdego prostokąta w i-tym przedziale to właśnie m_i. Gdybyśmy teraz dodali pola tych prostokątów, dostalibyśmy przybliżone oszacowanie pola pod wykresem. Im więcej prostokątów narysujemy pod wykresem, tym dokładniejsze oszacowanie otrzymamy. Pole i-tego prostokąta obliczylibyśmy jako s_i = m_i · (x_i − x_{i − 1}), więc suma pól wszystkich prostokątów wynosiłaby:

$$ s = \sum_{i=1}^{10} m_i \cdot (x_i - x_{i-1}) $$

Możemy postąpić odwrotnie: zamiast brać zawsze najmniejszą wartość funkcji w przedziale D_i, weźmiemy największą wartość funkcji. Te wartości funkcji oznaczylibyśmy M_i. Prostokąty wyglądałyby wtedy tak:

Znowu każdemu przedziałowi odpowiada jeden prostokąt i ma on zawsze wysokość M_i. Górny bok prostokąta dotyka wykresu zawsze tylko w maksimach lokalnych danego przedziału. Dodając pola poszczególnych prostokątów, dostalibyśmy kolejne oszacowanie pola pod wykresem. To pole obliczylibyśmy jako

$$ S = \sum_{i=1}^{10} M_i \cdot (x_i - x_{i-1}) $$

Znowu jest tak, że gdybyśmy zwiększyli liczbę prostokątów, otrzymamy dokładniejsze oszacowanie.

Wprowadzimy pojęcia dolnej i górnej sumy całkowej. Powiemy, że s(D, f) jest dolną sumą całkową i jej wartość jest równa

$$ s(D, f) = \sum_{i=1}^{n} m_i \cdot (x_i - x_{i-1}), $$

gdzie f jest funkcją ciągłą na przedziale <a, b>, gdzie x₀ = a, x_n = b, D jest podziałem przedziału <a, b> na mniejsze przedziały, a n jest liczbą tych przedziałów. Górną sumę całkową oznaczymy S(D, f) i jest ona równa:

$$ S(D, f) = \sum_{i=1}^{n} M_i \cdot (x_i - x_{i-1}), $$

gdzie f jest funkcją, a D podziałem przedziału <a, b> na n przedziałów.

Przy tym, mówiąc w uproszczeniu, im drobniejszy jest podział D, tym bliższe sobie są wartości s(D, f) i S(D, f), aż gdzieś w nieskończoności się zrównają. Zachodzi więc, że istnieje dokładnie jedna liczba rzeczywista A taka, że

$$ s(D, f) \le A \le S(D, f) $$

dla wszystkich możliwych podziałów D. Czym jest liczba A? Liczba A to właśnie pole obszaru pod wykresem, bo jest to jedyna wartość, która jest większa lub równa sumie pól prostokątów pod wykresem i jednocześnie mniejsza lub równa sumie pól prostokątów „nad wykresem”.

Definicja całki oznaczonej

Z poprzedniego rozdziału wiemy, że dla funkcji ciągłej f na przedziale <a, b> zachodzi s(D, f) ≤ A ≤ S(D, f) dla wszystkich podziałów D. Tę liczbę A nazywamy całką oznaczoną funkcji f od a do b. Używamy wtedy oznaczenia

$$ A = \int_a^b f(x) \mathrm{d}x. $$

Wzór Newtona-Leibniza mówi nam dalej, że zachodzi taka zależność:

$$ \int_a^b f(x) \mathrm{d}x = F(b)-F(a), $$

gdzie F jest funkcją pierwotną funkcji f. Prawą stronę równania zapisuje się czasem także tak:

$$ \int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \left[F(x)\right]_a^b $$

Interpretacją geometryczną całki oznaczonej jest więc wspomniane już pole obszaru pod wykresem nieujemnej funkcji f. Zaczęliśmy od funkcji $f(x) = \sin(x) + \frac{x}{4}$, więc spróbujmy obliczyć pole obszaru na przedziale <0, 10>. Obliczymy więc całkę oznaczoną

$$ \int_0^{10} \sin(x) + \frac{x}{4} \mathrm{d}x $$

Najpierw scałkujemy funkcję f:

$$\begin{eqnarray} \int \sin(x) + \frac{x}{4} \mathrm{d}x &=& \int \sin(x) \mathrm{d}x+ \int \frac{x}{4} \mathrm{d}x\\ &=& -\cos(x) + c_1 + \frac{x^2}{8} + c_2 \\ &=& \frac{x^2}{8} - \cos(x) + c_1+c_2 \end{eqnarray}$$

Funkcja pierwotna F ma więc postać $F(x) = \frac{x^2}{8} - \cos(x) + c$. Rozpiszemy całkę oznaczoną:

$$\begin{eqnarray} \int_0^{10} \sin(x) + \frac{x}{4} \mathrm{d}x &=& F(10) - F(0)\\ &=& \frac{10^2}{8} - \cos(10) + c - \left(\frac{0^2}{8} - \cos(0) + c\right)\\ &=& \frac{100}{8} - \cos(10) + \cos(0) + c - c\\ &\approx& 12{,}5 + 0{,}839 + 1\\ &\approx& 14{,}339 \end{eqnarray}$$

Przybliżone pole obszaru pod wykresem na przedziale <0, 10> wynosi 14,339.