Całkowanie przez podstawienie

Całkowanie przez podstawienie to bardzo skuteczna metoda całkowania. Podczas całkowania zastępujemy część funkcji inną funkcją, całkujemy, a potem wracamy do wyjściowej zmiennej.

Podstawowy wzór

Weźmy funkcję f i jej funkcję pierwotną F na przedziale J. Weźmy dalej funkcję rzeczywistą $\phi$, która jest różniczkowalna na przedziale I, przy czym $\phi(I) \subseteq J$. Wtedy zachodzi

$$ \int f(\phi(t))\cdot\phi^{\prime}(t) \mbox{ d}t = F(\phi(t)). $$

Jak przeszliśmy od lewej strony do prawej?

Tego twierdzenia będziemy używać tak, że wybierzemy podstawienie $x = \phi(t)$ i zmienimy zmienną całkowania — z dt zrobi się dx. Zaczniemy więc przekształcać całkę po lewej stronie tak, że po prostu zastąpimy $\phi(t)$ przez x i przepiszemy dt na dx:

$$ \int f(\phi(t))\cdot\phi^{\prime}(t) \mbox{ d}t = \int f(x) \cdot x^{\prime} \mbox{ d}x $$

Zauważ, że jeśli wykonamy podstawienie $x = \phi(t)$, to od razu mamy obliczoną także pochodną (różniczkujemy już względem x): $x^{\prime} = 1$. Pochodną x możemy więc z całki wyrzucić:

$$ \int f(x) \cdot x^{\prime} \mbox{ d}x = \int f(x) \mbox{ d}x $$

Dalej z założenia F jest funkcją pierwotną funkcji f, więc całą całkę możemy zastąpić funkcją F:

$$ \int f(x) \mbox{ d}x = F(x) $$

Na koniec cofniemy podstawienie, zamiast x napiszemy z powrotem $\phi(t)$:

$$ F(x) = F(\phi(t)) $$

Dostaliśmy w ten sposób równość ze wstępu:

$$ \int f(\phi(t))\cdot\phi^{\prime}(t) \mbox{ d}t = \ldots = F(\phi(t)). $$

Mniej więcej tak będziemy tego twierdzenia używać.

Pierwszy przykład

Oblicz taką całkę:

$$ \int \sin 6t \mbox{ d}t $$

Znamy wzór na całkę z sin x (albo tutaj sin t), ale nie znamy wzoru na sin 6t. Użyjemy więc podstawienia. Podstawimy tak: x = 6t. Według poprzedniego wzoru zachodzi:

$$ \int f(\phi(t))\cdot\phi^{\prime}(t) \mbox{ d}t = \int f(x) \mbox{ d}x, $$

gdzie $x = \phi(t)$. W naszym konkretnym przypadku f = sin i $\phi(t) = 6t$. Według wzoru zachodzi więc taka zależność:

$$ \int (\sin 6t) \cdot (6t)^{\prime} \mbox{ d}t = \int \sin x \mbox{ d}x, $$

gdzie x = 6t. Kłopot w tym, że my chcemy obliczyć całkę z sin 6t, a nie całkę z $(\sin 6t) \cdot (6t)^{\prime}$. Jak z tego wybrnąć? Spróbujmy zróżniczkować tę funkcję 6t. Dostaniemy:

$$ \int (\sin 6t) \cdot 6 \mbox{ d}t = \int \sin x \mbox{ d}x, $$

Liczba sześć jest stałą, którą możemy wyłączyć przed całą całkę:

$$ 6\cdot\int (\sin 6t) \mbox{ d}t = \int \sin x \mbox{ d}x, $$

Teraz całe równanie podzielimy przez sześć:

$$ \int (\sin 6t) \mbox{ d}t = \frac16\cdot\int \sin x \mbox{ d}x, $$

Po lewej stronie mamy już wyjściową całkę, którą na początku chcieliśmy obliczyć. Zostaje tylko obliczyć całkę po prawej stronie. Całka z sin x jest równa −cos x:

$$ \int (\sin 6t) \mbox{ d}t = \frac16\cdot(-\cos x), $$

A za x podstawimy z powrotem 6t:

$$ \int (\sin 6t) \mbox{ d}t = -\frac16\cdot\cos 6t + c, $$

I to już jest gotowy wynik.

Pierwszy przykład prościej

Poprzedni sposób był wprawdzie poprawny, ale podstawienie zapisuje się zwykle trochę inaczej. Jeszcze raz treść zadania:

$$ \int \sin 6t \mbox{ d}t $$

Podstawienie zapiszemy w nawiasie za całką tak:

$$ \int \sin 6t \mbox{ d}t = \begin{bmatrix} x=6t\\ dx=6dt \end{bmatrix} $$

W pierwszym wierszu napiszemy nasze podstawienie, tzn. x = 6t. Teraz zróżniczkujemy obie strony. Lewą względem x, a prawą względem t. W drugim wierszu po lewej stronie będziemy mieć zawsze dx, bo pochodna x wyjdzie nam zawsze 1. Wyrażenie dx tylko zaznacza, że różniczkowaliśmy względem x.

Prawą stronę zróżniczkujemy zupełnie normalnie względem t. Dostaniemy $(6t)^{\prime} = 6$ i dopiszemy dt, bo różniczkowaliśmy względem t. Jeśli chcemy sobie ułatwić pracę, możemy tam jeszcze zapisać wyznaczone dt:

$$ \int \sin 6t \mbox{ d}t = \begin{bmatrix} x=6t\\ dx=6dt\\ \frac{dx}{6}=dt \end{bmatrix} $$

W kolejnym kroku wykonamy samo podstawienie. Co więc będziemy czym zastępować? Zamiast 6t chcemy mieć wyrażenie x, więc to będzie pierwsze podstawienie. Ponieważ do funkcji wstawiamy nową zmienną x, musimy jednocześnie zmienić także dt. Zamiast dt wstawimy więc wyznaczoną wartość z trzeciego wiersza, tzn. dx/6.

Podsumujmy: zamiast 6t napiszemy x (pierwszy wiersz), a zamiast dt napiszemy dx/6 (trzeci wiersz). Dostaniemy:

$$ \int \sin 6t \mbox{ d}t = \begin{bmatrix} x=6t\\ dx=6dt \end{bmatrix} = \int \sin x \frac{dx}{6} $$

Dalej postępujemy już zupełnie normalnie. Szóstkę wyłączymy przed całkę:

$$ \int \sin x \frac{dx}{6} = \frac16\cdot\int \sin x dx $$

Scałkujemy sinus:

$$ \frac16\cdot\int \sin x dx = \frac16 \cdot (-\cos x) $$

I za x podstawimy z powrotem wyrażenie 6t:

$$ \frac16 \cdot (-\cos x) =

• \frac16 \cdot \cos 6t + c $$

Drugi przykład

Oblicz całkę przez podstawienie:

$$ \int \operatorname{tg} t \mbox{ d}t $$

Całkę z tangensa (w Polsce oznaczanego tg) znaleźlibyśmy pewnie w jakichś tablicach, ale spokojnie możemy ją obliczyć sami. Najpierw zapiszemy tangens jako iloraz sin/cos:

$$ \int \operatorname{tg} t \mbox{ d}t = \int \frac{\sin t}{\cos t} \mbox{ d}t $$

Podstawienie wybierzemy tak: x = cos t. Dostaniemy:

$$ \int \frac{\sin t}{\cos t} \mbox{ d}t = \begin{bmatrix} x=\cos t\\ dx=-\sin t \mbox{ d}t \end{bmatrix} $$

Teraz jeszcze wyznaczymy dt:

$$ dt=-\frac{dx}{\sin t} $$

Teraz możemy podstawić do całki. Zamiast cos t napiszemy x, a zamiast dt napiszemy −dx/sin t.

$$ \int \frac{\sin t}{\cos t} \mbox{ d}t = \begin{bmatrix} x=\cos t\\ dx=-\sin t \mbox{ d}t\\ \end{bmatrix} = \int -\frac{\sin t}{x}\cdot\frac{dx}{\sin t} $$

Drobny kłopot polega na tym, że w wyrażeniu została nam poprzednia zmienna całkowania t, i to w sinusie. Na szczęście oba sinusy się skrócą i zostanie nam:

$$ \int -\frac{\sin t}{x}\cdot\frac{dx}{\sin t} = \int -\frac{dx}{x} $$

Trochę to rozpiszemy, żeby dostać ładniejsze wyrażenie. dx przeniesiemy za ułamek, a do licznika wpiszemy jedynkę. Minus przeniesiemy przed całkę:

$$ \int -\frac{dx}{x} = -\int \frac{1}{x} \mbox{ d}x $$

Całkę z 1/x już znamy, to logarytm. Dostajemy więc:

$$ -\int \frac{1}{x} \mbox{ d}x = -\ln |x| $$

I jeszcze za x podstawimy z powrotem cos t.

$$ -\int \frac{1}{x} \mbox{ d}x = -\ln |x| = -\ln |\cos t| + c $$

Trzeci przykład

Oblicz całkę przez podstawienie:

$$ \int x \cdot \sin^3 t \mbox{ d}t $$

Może cię zmylić, że w funkcji podcałkowej mamy dwie zmienne: x i t. To wcale nie przeszkadza, bo po dt poznajemy, że całkujemy względem zmiennej t, a x zachowuje się wtedy jak stała. Nie ma się więc czego bać, przenieśmy x przed całkę:

$$ \int x \cdot \sin^3 t \mbox{ d}t = x\cdot\int \sin^3 t \mbox{ d}t $$

Wzorów na sin³ za wiele nie mamy, ale coś by się znalazło dla sin², więc przekształcimy funkcję tak:

$$ x\cdot\int \sin^3 t \mbox{ d}t = x\cdot\int \sin^2t\cdot\sin t \mbox{ d}t $$

Teraz rozpiszemy sin² według wzoru sin²t = (1−cos²t). Dostajemy całkę:

$$ x\cdot\int \sin^2t\cdot\sin t \mbox{ d}t = x\cdot\int (1-\cos^2t)\cdot\sin t \mbox{ d}t $$

Teraz wykonamy podstawienie. Zmienna x jest już zajęta, więc użyjemy na przykład y. I wybierzemy y = cos t

$$ x\cdot\int (1-\cos^2t)\cdot\sin t \mbox{ d}t = \begin{bmatrix} y=\cos t\\ dy = -\sin t dt\\ \end{bmatrix} $$

Wyznaczymy dt:

$$ dt=-\frac{dy}{\sin t} $$

I podstawimy do całki:

$$ x\cdot\int (1-\cos^2t)\cdot\sin t \mbox{ d}t = \begin{bmatrix} y=\cos t\\ dy = -\sin t dt\\ \end{bmatrix}= -x\cdot\int(1-y^2)\cdot\sin t \cdot \frac{dy}{\sin t} $$

Sinusy znowu ładnie się skrócą:

$$ -x\cdot\int(1-y^2)\cdot\sin t \cdot \frac{dy}{\sin t}=-x\cdot\int(1-y^2) \cdot dy $$

Tę całkę możemy już rozbić na dwie całki:

$$ -x\cdot\int(1-y^2) \cdot dy=-x\cdot\left(\int1 \mbox{ d}y-\int y^2 \mbox{ d}y \right) $$

To już są same całki tablicowe:

$$ -x\cdot\left(\int1 \mbox{ d}y-\int y^2 \mbox{ d}y \right)=-x\cdot\left(y-\frac{y^3}{3}\right) $$

Teraz za y podstawimy z powrotem cos t:

$$ -x\cdot\left(y-\frac{y^3}{3}\right)=-x\cdot \left(\cos t-\frac{\cos^3t}{3}\right)+c $$

To już jest ostateczny wynik.