Kąt skierowany

Ramiona kąta dzielą płaszczyznę na dwa kąty nieskierowane, jeden większy i jeden mniejszy (o ile nie są równe). Żeby było wiadomo, o którym kącie mówimy, wprowadzamy pojęcie kąta skierowanego.

Po co wprowadzać kąt skierowany

Spójrz na poniższy rysunek, na którym jest zaznaczony kąt AVB.

Pytanie brzmi, który z kątów mamy na myśli. Intuicyjnie pewnie założyłeś, że chodzi mi o ten mniejszy kąt, ale równie dobrze mógłbym mówić o tym większym. Dwa różne kąty utworzone przez te same dwie półproste pokazuje poniższy rysunek:

Bez dodatkowej informacji nie jesteśmy w stanie określić, czy przez kąt AVB rozumiemy kąt alfa, czy beta. Żeby się porozumieć, o którym kącie właściwie mówimy, powstało pojęcie kąta skierowanego.

Kierunek dodatni i ujemny

Kąt skierowany pomaga nam więc określić, o który kąt chodzi. Potrzebujemy do tego ustalić dwie rzeczy. Po pierwsze, ramiona kąta trzeba podawać we właściwej kolejności. Rozróżniamy więc kąt AVB i BVA, chociaż ramiona obu kątów są takie same — półproste VA i VB. Jeżeli mamy kąt AVB, półprosta VA nazywa się ramieniem początkowym kąta skierowanego, a półprosta VB ramieniem końcowym kąta skierowanego. Wspólny punkt V nazywa się wierzchołkiem kąta skierowanego.

Dobrze, wiemy już, że kolejność ramion kąta ma znaczenie. Nadal jednak nie wiemy, w którą stronę się obracać, jeśli chcemy otrzymać kąt AVB. Kąt AVB mógł bowiem powstać przez obrót w dwóch kierunkach, jak pokazuje poniższy rysunek:

Ramieniem początkowym kąta jest półprosta VA. Od niej możemy prowadzić kąt w dwóch kierunkach, na rysunku zaznaczonych zieloną strzałką i czerwonymi strzałkami. Kierunki możemy nazwać klasycznie według wskazówek zegara: kierunek zielony jest przeciwny do ruchu wskazówek zegara, a czerwony zgodny z ruchem wskazówek zegara.

W matematyce używamy jednak dla tych kierunków innych nazw: mówimy o kierunku dodatnim i ujemnym. Kierunek dodatni odpowiada zielonej strzałce, czyli kierunkowi przeciwnemu do ruchu wskazówek zegara. Kierunek ujemny odpowiada czerwonej strzałce, jest to więc kierunek zgodny z ruchem wskazówek zegara.

Przejrzyście pokazuje to poniższy rysunek:

Czym jest kąt skierowany

Kąt skierowany jako taki to uporządkowana para półprostych o wspólnym początku. Kąt skierowany moglibyśmy więc zapisywać jako parę półprostych, na przykład tak:

$$\left<\overrightarrow{VA}, \overrightarrow{VB}\right>,$$

krótszy zapis wygląda jednak tak: $\widehat{AVB}$. Ponadto jeżeli półproste VA i VB są różne, to również kąty $\widehat{AVB}$ i $\widehat{BVA}$ są różne.

Teraz zdefiniujemy miarę główną kąta skierowanego. Miara główna kąta skierowanego $\widehat{AVB}$ jest równa mierze kąta nieskierowanego, który powstanie przez obrót ramienia początkowego VA do położenia ramienia końcowego VB w kierunku dodatnim, czyli przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Miara główna kąta należy zawsze do przedziału $\left<0^\circ, 360^\circ\right)$. Zwróć uwagę, że przedział jest prawostronnie otwarty. Miara główna nie może być równa 360 stopniom. Taki kąt pokrywa się bowiem z kątem o mierze zero stopni, dlatego zamiast 360 stopni piszemy zero stopni. Jeżeli pracujemy w mierze łukowej, kąt należy do przedziału <0,2π).

Oprócz miary głównej mamy też po prostu miarę kąta skierowanego. Definiuje się ją tak samo, tylko ta miara może być większa od miary głównej. Jeżeli bowiem tworzymy kąt, wykonamy pełny obrót i dalej poruszamy ramieniem początkowym, możemy w ten sposób utworzyć kąt o mierze większej niż 360 stopni. Jeżeli wykonamy półtora obrotu, otrzymamy kąt o mierze 360 + 180 = 540 stopni. To jest poprawna miara kąta skierowanego. Ten kąt jest jednak identyczny z kątem o mierze 180 stopni.

Każdą taką miarę kąta skierowanego możemy łatwo zamienić na miarę główną: wykonujemy dzielenie z resztą przez 360, a reszta jest miarą główną. Spróbujmy tak zamienić te 540 stopni na miarę główną:

$$540 : 360 = 1\quad (\mbox{reszta } 180)$$

Podobnie dla innych miar. Na przykład dla kątów o mierze 750, 1080 i 2000 stopni otrzymujemy:

$$\begin{eqnarray} 750 : 360 = 2&\quad& (\mbox{reszta } 30)\\ 1080 : 360 = 3&\quad& (\mbox{reszta } 0)\\ 2000 : 360 = 5&\quad& (\mbox{reszta } 200) \end{eqnarray}$$

Kąty mają miary główne 30, 0 i 200 stopni. Jeżeli liczymy w radianach, dzielimy przez 2π.