Przeliczanie nachylenia drogi na kąt

Na pewno widziałeś już kiedyś na drodze znak A-23 „stromy podjazd” (albo A-22 „niebezpieczny spadek”). Taki znak ostrzega, że przed tobą jest dość strome wzniesienie. Nachylenie znak podaje jednak w procentach, a kąt zwykle jesteśmy przyzwyczajeni mierzyć w stopniach. Co oznacza nachylenie podane w procentach?

Żeby wyjaśnić, co mówi nam te 12%, spójrzmy na poniższy rysunek:

Wyobraźmy sobie, że nasz samochód jest w punkcie A, gdzie stoi też znak z nachyleniem 12%. Teraz pojedziemy dalej pod górę czerwoną drogą, aż przejedziemy sto metrów w linii prostej w poziomie. Nasz cel jest zaznaczony punktem C. Tę odległość w poziomie przedstawia odcinek między punktami A i B. W rzeczywistości samochód przejedzie trochę więcej, bo jedzie pod górę, więc odległość AC jest trochę większa niż AB. Kiedy jednak dojedziemy do punktu C, wzniesiemy się o 12 metrów, co pokazuje odcinek BC. I właśnie to mówi nam znak: nachylenie 12% oznacza, że gdyby to wzniesienie ciągnęło się przez sto metrów w poziomie, wznieślibyśmy się o 12 metrów. Gdyby w tym miejscu było nachylenie 14%, na stu metrach wznieślibyśmy się o 14 metrów.

Jak obliczyć kąt w stopniach

W jaki sposób otrzymamy teraz miarę kąta α przy wierzchołku A? Czyli jaki kąt tworzy wznosząca się droga z poziomym terenem? Wykorzystamy funkcje trygonometryczne, konkretnie funkcję tangens (w polskiej szkole zapisywaną tg). Wiemy, że tangens kąta w trójkącie prostokątnym jest równy stosunkowi przyprostokątnej przeciwległej do przyprostokątnej przyległej. Przyprostokątną przeciwległą do kąta α jest bok BC, przyprostokątną przyległą bok AB. Możemy więc zapisać, że tangens kąta alfa jest równy:

$$\large\operatorname{tg}\alpha=\frac{12}{100}$$

Tak naprawdę nie chcemy jednak znać tangensa kąta, chcemy znać miarę kąta α. Do tego będziemy potrzebować funkcji cyklometrycznej arcus tangens (na kalkulatorze oznaczanej często tg⁻¹), która potrafi obliczyć miarę kąta, jeżeli znamy stosunek boków. Możemy więc zapisać, że

$$\large\alpha=\arctan{\frac{12}{100}}$$

To trzeba wrzucić do jakiegoś kalkulatora, możemy użyć na przykład wujka Google, który obliczy, że

$$\large\alpha=\arctan{\frac{12}{100}}=6{,}84^\circ$$

Droga tworzy z poziomem kąt o mierze w przybliżeniu $6,84^\circ$.