Przedział
Przedziały są w matematyce używane bardzo często i pojawiają się w niejednej definicji. Przedział to zbiór punktów, który jest ograniczony dwoma punktami krańcowymi. Rozróżniamy przy tym przedziały otwarte i domknięte.
Podstawowy opis
Przedziałów używamy także w codziennej mowie, na przykład „za niewłaściwy kolor oczu możesz dostać od Unii Europejskiej karę w wysokości od dziesięciu do dwudziestu tysięcy złotych”. W przykładzie pada sformułowanie „od… do…”, ale z matematycznego punktu widzenia chodzi o przedział. Teraz jednak pojawiają się podchwytliwe pytania: czy możesz dostać karę w wysokości dokładnie dziesięciu tysięcy złotych, czy wartość krańcowa się nie liczy? Jak dokładnie można wybrać wysokość kary? Czy można wymierzyć karę 18 541,97 zł? A może można ją zmieniać na przykład tylko co sto złotych? Czyli albo 18 500, albo 18 600?
Wszystko to rozstrzyga zapis matematyczny. Musimy w nim powiedzieć dwie istotne rzeczy: w jakim zbiorze się poruszamy (w kontekście przykładu – setki? Tysiące? Pojedyncze złote?) i czy do przedziału należą także punkty krańcowe (czy mogę dostać karę równą dokładnie dziesięciu albo dwudziestu tysiącom?).
Dobra wiadomość jest taka, że w zdecydowanej większości przypadków chcemy w matematyce, żeby przedział dotyczył zbioru liczb rzeczywistych, więc jeśli trafisz na przedział bez określenia zbioru, na pewno chodzi o liczby rzeczywiste.
Zbiór wyjściowy już mamy, a jak zaznaczyć, czy chcemy uwzględnić punkty krańcowe? Przedziały zapisujemy za pomocą nawiasów. Nawias okrągły oznacza, że dany punkt krańcowy do przedziału nie należy, a nawias ostry, że punkt krańcowy do niego należy. Mówimy wtedy o otwartości i domkniętości. Jeśli punkt krańcowy należy do przedziału, przedział jest domknięty, jeśli nie należy, jest otwarty.
Przykłady
Oto przykłady (wszystkie w zbiorze liczb rzeczywistych, o ile nie powiedziano inaczej):
- $\left<1,2\right>\qquad$ Przedział domknięty od jednego do dwóch. Do przedziału należą wszystkie liczby rzeczywiste między jedynką a dwójką, łącznie z jedynką i dwójką.
- $(1,2)\qquad$ Przedział otwarty od jednego do dwóch. Do przedziału należą wszystkie liczby rzeczywiste między jedynką a dwójką, ale same liczby jeden i dwa do niego nie należą.
- $\left<0,1\right)\qquad$ Przedział lewostronnie domknięty i prawostronnie otwarty. Do przedziału należą wszystkie liczby między zerem a jedynką, łącznie z samym zerem, ale jedynka do przedziału nie należy.
- $\left(p,q\right>\qquad$ Przedział lewostronnie otwarty i prawostronnie domknięty. Do przedziału należą wszystkie liczby między liczbami p i q, łącznie z liczbą q, ale bez liczby p.
- $\left<0,\infty\right)\qquad$ Przedział lewostronnie domknięty i prawostronnie otwarty. Jeśli masz w przedziale nieskończoność, używaj z tej strony przedziału otwartego. Nieskończoność nie ma żadnego skończonego punktu krańcowego, więc domknięcie przedziału nie ma tam sensu.
- $\left<1,5\right>\subset\mathbb{N}\qquad$ Tutaj następuje zmiana: nie pracujemy ze zbiorem liczb rzeczywistych, lecz ze zbiorem liczb naturalnych. Przedział jest domknięty z obu stron, więc należy do niego łącznie pięć liczb: 1, 2, 3, 4 i 5.
- $\left(1,5\right>\subset\mathbb{N}\qquad$ Ten sam przypadek co przed chwilą, tylko przedział jest lewostronnie otwarty, więc jedynka do niego nie należy, a wszystkie elementy przedziału to: 2, 3, 4 i 5.
Przedział jako zbiór
Jak widać, przedział nie jest niczym innym niż podzbiorem zbioru, w którym jest określony. Dlatego możemy pracować z przedziałami jak ze zbiorami i wykonywać na nich działania na zbiorach. Na przykład suma mogłaby wyglądać tak:
$$\left<0, 5\right>\cup\left<5{,}10\right>=\left<0{,}10\right>$$
Uważaj na przedziały otwarte, tam ta równość by nie zachodziła, bo piątka do przedziału wynikowego nie należy:
$$\left(0, 5\right)\cup\left(5{,}10\right)\ne\left(0{,}10\right)$$
Poprawnie mogłoby to wyglądać na przykład tak:
$$\left(0, 5\right)\cup\left(5{,}10\right)=\left(0{,}10\right)-{5}$$
Kiedy użyć przedziału otwartego
Różnicę między przedziałem otwartym a domkniętym trzeba koniecznie zrozumieć. Częstym przykładem użycia przedziału otwartego jest dziedzina logarytmu. Logarytm możemy obliczyć z dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej, co oznacza, że nie możemy go obliczyć z liczby ujemnej ani z zera. Jak to zapiszemy?
$$D(\ln)=\left(0,\infty\right)$$
Ten zapis mówi, że logarytm możemy obliczyć z dowolnie małej liczby dodatniej, ale nie z zera. Do przedziału należy więc na przykład liczba 1, liczba 0,001 też, tak samo liczba 0,0000000001 albo 10−666. Ale zero do przedziału już nie należy. Podobnie moglibyśmy zapisać dziedzinę funkcji z ułamkiem, na przykład zwykłej f(x) = 1/x.
$$D(f)=(-\infty,0)\cup(0,\infty)$$
Wyznacza nam to zbiór liczb rzeczywistych bez zera. W żadnym z przedziałów zero nie stoi przy nawiasie domkniętym, dlatego nie będzie go też w wynikowej sumie. Możemy jednak użyć dowolnie małej liczby dodatniej albo dowolnie dużej liczby ujemnej (dla liczb ujemnych zachodzi, że -0,001 jest większe niż -0,1, dlatego mówimy o dowolnie dużej, a nie dowolnie małej liczbie).
Interpretacja geometryczna
Przedziały zwykle przedstawiamy na osi liczbowej jako odcinki, a punkty krańcowe rysujemy zależnie od tego, czy przedział jest domknięty, czy otwarty. Jeśli przedział jest domknięty, kółko oznaczające punkt będzie zamalowane, jeśli jest otwarty, będzie niezamalowane – będzie to tylko kontur, sam okrąg.
Poniższy obrazek przedstawia trzy przedziały, każdy od dwóch do sześciu, ale różniące się domknięciem końców. Po kolei są to przedziały: <2,6>, (2,6>, (2,6).
