Miara łukowa kąta

Radian jest — podobnie jak stopień — jednostką miary kąta. Definiuje się go na okręgu jednostkowym, a jego miara odpowiada kątowi środkowemu opartemu na łuku, którego długość jest równa promieniowi okręgu.

Definicja

Do zdefiniowania miary łukowej będziemy potrzebować okręgu jednostkowego. Na tym okręgu zaznaczymy dwa punkty A i B tak, aby łuk, który wyznaczają, miał długość jeden, czyli aby długość łuku była taka sama jak promień tego okręgu. Jeżeli środek okręgu oznaczymy punktem S, to kąt ASB ma miarę dokładnie jednego radiana.

Odcinek AS to promień okręgu, jest zaznaczony na czerwono. Tak samo długa musi być druga czerwona linia, czyli łuk AB. Ważne jest to, że nie chodzi nam o samą odległość punktów A i B, czyli nie interesuje nas odcinek AB, ale naprawdę długość tego łuku.

Ile wynosi radian w stopniach? W przybliżeniu $57^\circ 17^{\prime} 45^{\prime\prime}$. Dokładnej wartości nie da się zapisać w postaci skończonego ułamka dziesiętnego. Pojawia się więc pytanie, do czego taka jednostka może się przydać.

Praktyczne obliczenia z radianami

Najpierw odpowiemy na pytanie, ile radianów odpowiada całemu okręgu, czyli ile radianów odpowiada 360 stopniom. Wiemy, że długość łuku przy radianie to dokładnie promień okręgu. Ile takich łuków zmieścimy na całym okręgu? Cały okrąg ma długość (czyli obwód) równą

$$L=2\pi r.$$

Nasz łuk ma długość r, więc żeby sprawdzić, ile razy łuk zmieści się na okręgu, musimy podzielić $\text{obwód} / \text{promień}$, co daje:

$$\frac{2\pi r}{r}=2\pi.$$

Odpowiedź brzmi więc: takich łuków zmieścimy na całym okręgu 2π. To już całkiem ładna liczba. Możemy zatem zapisać, że

$$360^\circ=2\pi \mbox{ rad}\quad\mbox{i}\quad180^\circ=\pi\mbox{ rad}.$$

Często samą jednostkę rad pomijamy i piszemy po prostu kąt o mierze na przykład 2π.

Na następnym rysunku są pokazane trzy kąty o mierze jednego radiana: alfa, beta i gamma. Widzisz, że ich miary dają razem prawie 180 stopni. Ponieważ jednak na 180 stopni potrzebowalibyśmy π radianów, a π ma wartość w przybliżeniu 3,1415…, trochę nam jeszcze brakuje.

Zamiana stopni na radiany i odwrotnie

Większość urządzeń i programów, które obliczają wartości funkcji trygonometrycznych, w ustawieniach domyślnych pracuje w radianach. To pewien kłopot, jeżeli masz kąt podany w stopniach. Masz dwie możliwości: jeśli się da, przełączyć urządzenie tak, żeby liczyło w stopniach, albo zamienić stopnie na radiany.

Na przykład wyszukiwarka Google ma wbudowany kalkulator, więc możesz w niej obliczyć na przykład wartość funkcji sinus. Domyślnie pracuje jednak właśnie w radianach, więc gdy spróbujemy obliczyć sin(30), nie otrzymamy poprawnego wyniku 0,5, bo Google nie zrozumiał tego jako trzydziestu stopni, tylko jako trzydzieści radianów. Jeżeli jednak za liczbą dopiszemy słowo „degrees” (po angielsku „stopnie”), obliczy to już poprawnie: sin(30 degrees). Większość kalkulatorów ma właśnie dwa tryby: jeden pracuje w stopniach, a drugi w radianach. Zwykle przełącza się je przyciskiem oznaczonym rad / deg. Rad to skrót od radiana, deg to właśnie degree.

Jeżeli nie ma innego wyjścia, musisz zamienić stopnie na radiany albo odwrotnie. Zaczniemy od pierwszego: zamiana stopni na radiany. Wiemy już, że zachodzi równość $180^\circ=\pi\mbox{ rad}$. Chcielibyśmy wiedzieć, jakiej części radiana odpowiada jeden stopień, więc równość podzielimy przez 180:

$$1^\circ=\frac{\pi}{180}\mbox{ rad}$$

Wiemy już, ile radianów ma jeden stopień. Jeżeli potrzebujemy obliczyć na przykład trzydzieści stopni, pomnożymy ten ułamek przez trzydzieści:

$$30^\circ=30\cdot\frac{\pi}{180}\mbox{ rad}=\frac{\pi}{6}\mbox{ rad}.$$

Podobnie dla innych miar w stopniach.

Teraz przypadek odwrotny, zamiana radianów na stopnie. Znowu wyjdziemy od równości $180^\circ=\pi\mbox{ rad}$. Jeżeli mamy 2π radianów, dostaniemy dwa razy więcej stopni, czyli 360. Jeżeli natomiast mamy tylko pół π radianów, otrzymamy o połowę mniej stopni — 90. Najpierw więc podzielimy naszą wartość w radianach przez liczbę π, dzięki czemu dowiemy się, jaką wielokrotnością 180 stopni jest nasz kąt. Następnie wynik pomnożymy właśnie przez 180 i mamy kąt w stopniach. Jeżeli więc mamy kąt o mierze 3π/2 radianów, po podzieleniu dostaniemy:

$$\frac{3\pi}{2}:\pi=\frac{3\pi}{2}\cdot\frac{1}{\pi}=\frac32$$

Ten wynik pomnożymy przez 180 i mamy kąt w stopniach: 3/2 · 180 = 270. Jeżeli mamy dwa radiany, otrzymujemy:

$$2\mbox{ rad} = \frac{2}{\pi}\cdot180=\left(\frac{360}{\pi}\right)^\circ = 114{,}59\ldots^\circ$$

Podstawową zależność między wartością w radianach i w stopniach przedstawia ten wzór (rad to wartość w radianach, deg wartość w stopniach):

$$deg=rad\cdot\frac{180^\circ}{\pi}.$$

Historia

Pojęcie radiana jako pierwszy stworzył prawdopodobnie Roger Cotes w 1714 roku. Jego jednostka nie miała wtedy jeszcze nazwy „radian”, ale pozostałe definicje i własności były identyczne. Termin „radian” pojawił się na piśmie po raz pierwszy 5 czerwca 1873 roku w tekście Jamesa Thomsona. Jednostka mogła się też nazywać „radial” albo po prostu „rad”. (Źródło: wiki)

Tabela podstawowych zależności

Niektóre kąty pojawiają się dość często, dlatego poniższa tabela podaje ich miary w stopniach i odpowiadające im wartości w radianach:

$$ \LARGE \begin{matrix} \mbox{deg: }&0&30&45&60&90&180&270&360\\ \mbox{rad: }&0&\frac{\pi}{6}&\frac{\pi}{4}&\frac{\pi}{3}&\frac{\pi}{2}&\pi&\frac{3\pi}{2}&2\pi \end{matrix} $$