Okrąg jednostkowy

Okrąg jednostkowy to zwykły okrąg, którego promień jest równy jeden. Okrąg jednostkowy świetnie nadaje się do tego, żeby przejrzyście pokazać definicje poszczególnych funkcji trygonometrycznych.

Co to jest okrąg jednostkowy

Okrąg jednostkowy to okrąg o promieniu długości jeden, którego środek leży w początku układu współrzędnych, czyli w punkcie (0, 0). Spójrz na poniższy rysunek:

Okrąg jest dodatkowo podzielony na cztery części, które nazywamy ćwiartkami. Po prawej u góry jest ćwiartka pierwsza, po lewej u góry druga, po lewej u dołu trzecia, a po prawej u dołu czwarta. Ponieważ będziemy używać tego okręgu do pokazywania kątów, na okręgu zaznaczone są stopnie. Ramię kąta zwykle zaczyna się tam, gdzie jest zero stopni, i obraca się w górę. Dlatego przy punkcie (0, 1) jest zaznaczony kąt prosty.

Definicja sinusa i cosinusa na okręgu

Na okręgu jednostkowym można bardzo ładnie pokazać poszczególne funkcje trygonometryczne. Najpierw odłożymy na okręgu jednostkowym jakiś kąt, a potem pokażemy, gdzie na okręgu jednostkowym można odczytać wartości poszczególnych funkcji.

Odłożyliśmy na okręgu kąt ASB (na czerwono) i nazwaliśmy go alfa. Ramiona kąta przecinają okrąg jednostkowy w dwóch punktach: A i B. Ważny będzie dla nas punkt B. Jeśli przez punkt B poprowadzimy prostą równoległą do osi x (na rysunku to ta przerywana pozioma linia), to ta prosta przetnie oś y w dokładnie jednym punkcie. Oznaczmy go P_s. Długość odcinka SP_s (zielony odcinek) jest wtedy równa sinusowi kąta alfa.

Ponieważ pracujemy z okręgiem jednostkowym o środku w początku układu współrzędnych, długość odcinka SP_s (zielony odcinek) jest równa współrzędnej y punktu P_s, a ta jest równa współrzędnej y punktu B.

Na tym samym okręgu możemy odczytać także cosinus. Poprowadzimy w tym celu przez punkt B prostą równoległą do osi y. Ta prosta przetnie oś x w punkcie, który oznaczymy P_c. Długość odcinka SP_c jest wtedy równa cosinusowi kąta alfa. Znowu możemy powiedzieć, że ta wartość jest równa współrzędnej x punktu B i punktu P_c.

Definicja tangensa i cotangensa

Podobnie jak sinus i cosinus, możemy na okręgu jednostkowym zdefiniować tangens i cotangens (w polskiej szkole zapisywane jako tg i ctg). Dla przejrzystości najpierw pokażemy, gdzie na okręgu jednostkowym pojawia się tangens. Będziemy do tego potrzebować kolejnej prostej. Będzie to prosta równoległa do osi y, przechodząca przez punkt A, czyli przez punkt (1, 0). Na poniższym rysunku to ta niebieska prosta:

Ta prosta przecina półprostą SB (ramię kąta) w jednym punkcie, który oznaczymy P_t. Długość odcinka AP_t jest wtedy równa tangensowi kąta alfa. Znowu wystarczy wziąć współrzędną y punktu P_t i także otrzymamy tangens kąta alfa.

Żeby pokazać na okręgu jednostkowym cotangens, będziemy potrzebować jeszcze jednej prostej. Tym razem będzie to prosta, która przechodzi przez punkt (0, 1) (na rysunku oznaczony literą C) i jest równoległa do osi x. Znowu jest zaznaczona na niebiesko:

Ta prosta przecina półprostą SB (ramię kąta) w jednym punkcie, który oznaczymy P_k. Długość odcinka CP_k jest wtedy równa cotangensowi kąta alfa. Jak zawsze możemy wziąć tylko współrzędną x punktu P_k i otrzymamy cotangens kąta.

Pytanie brzmi, co się stanie, jeśli kąt alfa będzie większy niż 90 stopni w przypadku tangensa albo większy niż 180 stopni w przypadku cotangensa, bo wtedy prosta nie przetnie ramienia kąta. Widać to na poniższym rysunku:

W takiej sytuacji zamienimy półprostą SB na prostą i ta prosta już przetnie prostą p.

Podobnie postąpilibyśmy w przypadku tangensa.

Kiedy tangens i cotangens nie są określone

Na jednostkowym okręgu możemy zauważyć jedną ciekawą rzecz. Jeśli kąt alfa jest równy 180 stopni, to prosta p i ramię kąta nigdy się nie przetną, bo będą równoległe. Jak naprawimy ten problem? W żaden sposób, cotangens 180 stopni nie jest określony. Podobnie nie jest określony tangens 90 stopni, bo takie ramię będzie równoległe do osi y, a więc także do prostej, z którą powinno się przeciąć. Poniższy rysunek pokazuje to przynajmniej dla cotangensa.