Suma, część wspólna, różnica i dopełnienie zbiorów

Na zbiorach możemy wykonywać różne działania. Do najbardziej podstawowych należą suma, część wspólna, różnica i dopełnienie.

Suma zbiorów

Sumę zbiorów oznaczamy symbolem ∪, czyli sumę zbiorów A i B oznaczymy klasycznie: A ∪ B. Sumą zbiorów A i B jest nowy zbiór, który zawiera wszystkie elementy zbioru A i także wszystkie elementy zbioru B. Definicja:

$$A \cup B = \left\{x | x \in A \vee x \in B\right\}$$

Przykład: weźmy dwa zbiory A = {1, 3, 5, 7} i B = {2, 4, 6}. Ich sumą jest zbiór: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Wynikowy zbiór zawiera elementy obu zbiorów.

Kolejny przykład: A = {1, 2, 3} i B = {2, 3, 4}. Jako sumę otrzymamy: A ∪ B = {1, 2, 3, 4}. Elementy 2 i 3 nie wystąpią w wynikowym zbiorze dwa razy, bo zbiór nie zawiera jednego elementu wielokrotnie.

Inne własności:

• A ∪ A = A: jeśli zsumujemy dwa takie same zbiory, dostaniemy znowu ten sam zbiór.
• A ∪ B = B ∪ A: suma jest przemienna, kolejność nie ma znaczenia.
• A ∪ ∅ = A: zbiór pusty nie zawiera żadnego elementu, więc nie ma czego dołączać.

Część wspólna zbiorów

Częścią wspólną dwóch zbiorów A i B jest nowy zbiór, który zawiera elementy wspólne dla tych dwóch zbiorów. Dokładniej powiedzielibyśmy, że nowy zbiór zawiera elementy, które należą do A i jednocześnie należą do B. Część wspólną, nazywaną też iloczynem zbiorów, oznaczamy symbolem ∩. Definicja:

$$A \cap B = \left\{x | x \in A \wedge x \in B\right\}$$

Przykład: A = {1, 3, 5, 7, 9} i B = {4, 5, 6, 7}. Część wspólna jest równa A ∩ B = {5, 7}. Kolejny przykład: A = {a, b, c, d, e} i B = {f, g, h, i, j}. Część wspólna jest równa: A ∩ B = ∅. Te zbiory nie mają żadnego wspólnego elementu, więc ich częścią wspólną jest zbiór pusty.

Inne własności:

• A ∩ A = A: część wspólna dwóch takich samych zbiorów to znowu ten sam zbiór.
• A ∩ B = B ∩ A: część wspólna jest przemienna, kolejność nie ma znaczenia.
• A ∩ ∅ = ∅: zbiór pusty nie zawiera żadnego elementu, więc na pewno nie ma żadnego elementu wspólnego ze zbiorem A.

Różnica zbiorów

Różnicę zbiorów oznaczamy zwykłym znakiem minus − albo lepiej takim ukośnym minusem ∖. Przez różnicę dwóch zbiorów A i B rozumiemy taki zbiór, który zawiera wszystkie elementy z A i jednocześnie nie zawiera żadnego elementu z B. Po prostu sprawdzasz, które elementy pierwszy zbiór ma wspólne z drugim, i potem je usuwasz. Definicja:

$$A \setminus B = \left\{x \in A | x \notin B\right\}$$

Przykład: A = {1, 2, 3, 4, 5} i B = {4, 5, 6, 7, 8}. Różnica będzie wtedy równa A ∖ B = {1, 2, 3}. Są to te elementy, które nam zostaną, gdy ze zbioru A usuniemy wszystkie elementy należące do zbioru B. Kolejny przykład: A = {a, b, d, e}. Różnica A ∖ A = ∅.

Inne własności:

• A ∖ A = ∅: podobnie jak przy odjęciu od siebie dwóch takich samych liczb dostajemy zero (np. 5 − 5 = 0), tak przy odjęciu dwóch takich samych zbiorów dostajemy zbiór pusty.
• A ∖ ∅ = A: zbiór pusty nie zawiera żadnego elementu, więc ze zbioru A nie możemy usunąć żadnego elementu.

Dopełnienie zbioru

Dopełnienie zbioru A oznacza się różnie, ale chyba najczęściej apostrofem (primem) A' albo kreską nad literą: $\overline{A}$. Dla prostoty będę używał zapisu A'. Żeby wyznaczyć dopełnienie zbioru A, musimy wiedzieć, w jakim zbiorze to dopełnienie wyznaczamy. Dopełnienie zbioru to bowiem wszystkie elementy, które nie należą do zbioru A, jest to więc swego rodzaju przeciwieństwo zbioru A.

Jeśli przestrzenią (zbiorem uniwersalnym) jest M = {1, 2, 3, …, 9, 10}, to dopełnieniem zbioru A = {2, 4, 6, 8, 10} do M jest zbiór A' = {1, 3, 5, 7, 9}. Zawiera wszystkie elementy z M, które nie należą do A. Możemy powiedzieć, że dopełnienie A' do M jest równe M ∖ A.

Jeśli za przestrzeń weźmiemy liczby całkowite, to dopełnieniem zbioru liczb parzystych będą liczby nieparzyste. Dopełnieniem zbioru A = {1, 2, 3, 4} będzie zbiór A' = {…, −3, −2, −1, 0, 5, 6, 7, …}.

Dla dopełnienia zachodzi, że jeśli zastosujemy je dwa razy, otrzymamy z powrotem wyjściowy zbiór. Na przykład w liczbach całkowitych: dopełnieniem liczb parzystych są liczby nieparzyste. A dopełnieniem liczb nieparzystych są z kolei liczby parzyste. Zachodzi więc A = A'' (dopełnienie dopełnienia A).