Przebieg zmienności funkcji: monotoniczność

Badając przebieg zmienności funkcji, ustalamy między innymi, w których przedziałach funkcja jest rosnąca, a w których malejąca. Świetnie posłuży nam do tego pochodna funkcji.

Jak zbadać monotoniczność funkcji

Współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie, czyli pochodna funkcji w punkcie, mówi nam o funkcji więcej, niż mogłoby się wydawać. Na początek przyjrzyj się następującemu rysunkowi:

Co możemy tu zauważyć? Jeśli funkcja jest w danym punkcie malejąca, to maleje też styczna w tym punkcie (dokładniej: maleje funkcja, której wykresem jest ta styczna). Widać to na stycznej b. Funkcja x² + 1 jest w punkcie B malejąca i styczna b też jest malejąca. Z kolei styczna a jest rosnąca i widzimy, że funkcja x² + 1 jest w punkcie A także rosnąca. Trzecia styczna, c, jest równoległa do osi x i widzimy, że w tym miejscu jest ekstremum — konkretnie minimum.

To rzeczy, które widać na pierwszy rzut oka, ale trzeba je jeszcze doprecyzować. Zaczniemy od funkcji rosnącej i malejącej. Jeśli styczna do wykresu funkcji w punkcie jest rosnąca, to funkcja w tym punkcie też jest rosnąca. Kiedy styczna jest rosnąca? Wtedy, gdy kąt, który tworzy z dodatnią półosią x, należy do przedziału (0, 90) stopni. Styczna jest natomiast malejąca, gdy kąt, który tworzy z dodatnią półosią x, należy do przedziału (90, 180) stopni. Przyjrzyj się następującemu rysunkowi:

Kąt α jest na pewno mniejszy niż 90 stopni i styczna jest rosnąca. Kąt β jest większy niż 90 stopni i styczna maleje. To powinno być jasne. Teraz wróćmy do tangensa. Musimy sobie przypomnieć, jak oblicza się tangens. Potrzebny nam będzie do tego okrąg jednostkowy. Na okręgu jednostkowym odkładamy interesujące nas kąty, a z okręgu jednostkowego według pewnych reguł odczytujemy wartości funkcji trygonometrycznych. Wartość tangensa odczytujemy jako współrzędną y punktu przecięcia ramienia kąta z prostą prostopadłą do osi x, poprowadzoną przez punkt (1, 0). Oto rysunek:

Na rysunku mamy niebieski okrąg jednostkowy i dwie proste: czerwoną prostą a i zieloną b. Proste te tworzą z dodatnią półosią x kąty α i β. Z rysunku łatwo odczytamy tangensy tych kątów: przez punkt (1, 0) prowadzimy prostą p prostopadłą do osi x. To ta szara prosta. Tangens kąta α jest wtedy równy współrzędnej y punktu przecięcia czerwonej prostej a z szarą prostą p. Innymi słowy: tangens kąta α jest równy długości odcinka |BP|.

To samo dla prostej b i kąta β. Tangens kąta β jest równy współrzędnej y punktu przecięcia prostej b z prostą p. Czyli długości odcinka CP.

Jak widzisz, tan(α) będzie dodatni, natomiast tan(β) jest ujemny. I właśnie o to nam chodziło. Jak widać z rysunku, jeśli kąt należy do przedziału (0, 90), a tak jest w przypadku kąta α, to jego tangens jest dodatni, a jeśli należy do przedziału (90, 180), jak kąt β, to tangens jest ujemny.

Jak teraz w prosty sposób ustalić, jaki kąt tworzy styczna w danym punkcie z dodatnią półosią x? Za pomocą pochodnych. Pochodna funkcji podaje nam współczynnik kierunkowy stycznej w danym punkcie, a współczynnik kierunkowy stycznej to właśnie tangens kąta, który styczna tworzy z dodatnią półosią x. Innymi słowy: jeśli w danym punkcie pierwsza pochodna funkcji jest dodatnia, to funkcja jest rosnąca. Jeśli jest ujemna, to funkcja jest malejąca.

Jeżeli $f^{\prime}(x) > 0$, to funkcja f jest w punkcie x rosnąca. Jeżeli $f^{\prime}(x) < 0$, to funkcja f jest w punkcie x malejąca.

Przykład: znów weźmiemy do pomocy funkcję f(x) = x². Wiemy, że pochodną tej funkcji jest funkcja $f^{\prime}(x)=2x$. Dla wszystkich punktów, dla których zachodzi 2x < 0, funkcja jest malejąca, a dla wszystkich, dla których 2x > 0, jest rosnąca. To proste nierówności, więc wychodzą nam przedziały (−∞, 0), w którym funkcja maleje, i (0, ∞), w którym rośnie.