Przebieg zmienności funkcji: wypukłość i wklęsłość

Wypukłość i wklęsłość funkcji mówią, w którą stronę wygina się jej wykres. Punkty, w których funkcja wypukła zmienia się we wklęsłą lub odwrotnie, nazywamy punktami przegięcia.

Co to jest funkcja wypukła i wklęsła

Z wykresu zwykle na pierwszy rzut oka widać, czy funkcja jest wklęsła, czy wypukła. Funkcja wypukła wygląda jak „dołek”, a wklęsła jak górka. Mówi się też, że do funkcji wypukłej nalejesz kawy. Oto trzy przykłady znanych już funkcji.

Jak sprawdzić, czy funkcja jest wypukła, czy wklęsła

Teraz musimy dojść do tego, jak sprawdzić, czy funkcja jest w danym przedziale wypukła, czy wklęsła. Potrzebny nam będzie do tego kolejny rysunek:

Funkcja kwadratowa jest w całej swojej dziedzinie wypukła. Co zauważysz, gdy przyjrzysz się wszystkim stycznym, które zaznaczyłem na rysunku? Wszystkie punkty wykresu funkcji kwadratowej leżą nad każdą ze stycznych, z wyjątkiem tego jednego punktu, w którym styczna dotyka wykresu. Możemy narysować podobny rysunek dla przeciwnej funkcji −x², tam sytuacja będzie odwrotna i wszystkie punkty będą pod styczną:

Zanim przejdziemy do dalszych wyjaśnień, przyjrzyj się następującemu rysunkowi:

Przedstawiona funkcja f(x) = x² jest wypukła. Wiemy już, że w przypadku funkcji wypukłej wszystkie punkty wykresu leżą nad styczną. Tutaj jest to spełnione — mamy styczną t i punkty wykresu leżą nad tą styczną. Teraz chodzi o to, jak obliczyć, że te punkty leżą nad styczną.

Mamy dany punkt x₀, a w punkcie (x₀, f(x₀)) prowadzimy styczną do wykresu, prostą t. Na rysunku punkt o współrzędnych (x₀, f(x₀)) jest zaznaczony jako czerwony punkt T. Dalej wybierzmy na osi x jakiś inny punkt x. Na rysunku to zielony punkt. Dla takiego x punkt (x, f(x)), na rysunku zielony punkt F, musi leżeć nad styczną t. Ponieważ funkcja x² jest wypukła w całej swojej dziedzinie, to jakikolwiek element x ∈ D(f) weźmiemy, musi zachodzić, że (x, f(x)) leży nad styczną.

Jak zapisać to wzorem? Na rysunku mamy styczną t. Wyobraźmy sobie funkcję liniową t(x), której wykresem byłaby właśnie styczna/prosta t. Na przykład wartość w punkcie x₀, czyli t(x₀), byłaby równa t(x₀) = f(x₀), ponieważ w tym punkcie obie funkcje są sobie równe (ich wykresy mają w tym punkcie punkt wspólny).

Teraz już możemy to wyrazić wzorami. Jak zapisać, że wykres jednej funkcji leży nad wykresem drugiej funkcji? Po prostu tak: f(x) > t(x). Gdy spojrzymy na rysunek: w punkcie x styczna leży pod wykresem, ponieważ f(x) > t(x).

Ponieważ znamy funkcję f, znamy też wartości f(x₀) i f(x). Żeby więc sprawdzić, czy f(x) > t(x), wystarczy nam ustalić długość fioletowego odcinka AB. A jak ją ustalimy? Cóż, znamy długość odcinka TA, to |x − x₀|. Długości odcinka TB niestety nie znamy. Jeśli jednak obliczymy pochodną funkcji w punkcie x₀, poznamy współczynnik kierunkowy stycznej, czyli tangens kąta, który styczna tworzy z dodatnią półosią x, a ten kąt ma taką samą miarę jak kąt ATB, bo są to kąty odpowiadające.

Znamy teraz długość odcinka TA i miarę kąta ATB. Przypomnijmy, że tangens to stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przyprostokątnej przyległej, więc zachodzi:

$$ \operatorname{tg}(\sphericalangle ATB) = \frac{|AB|}{|TA|} $$

Znamy $\operatorname{tg}(\sphericalangle ATB)$ i |TA|, a chcemy obliczyć |AB|. Wyznaczamy więc |AB|:

$$ |AB| = \operatorname{tg}(\sphericalangle ATB) \cdot |TA| $$

Najpierw za długość |TA| podstawiamy |x − x₀|:

$$ |AB| = \operatorname{tg}(\sphericalangle ATB) \cdot |x-x_0| $$

A za $\operatorname{tg}(\sphericalangle ATB)$ podstawiamy pochodną funkcji f w punkcie x₀, czyli $f^{\prime}(x_0)$:

$$ |AB| = f^{\prime}(x_0) \cdot |x-x_0| $$

W ten sposób obliczyliśmy długość odcinka AB. Na rysunku x leży na prawo od x₀, a styczna rośnie. W ogólności x może jednak leżeć także na lewo od x₀ albo styczna może maleć, dlatego zamiast długości |x − x₀| napiszemy różnicę x − x₀: znak iloczynu $f^{\prime}(x_0) \cdot (x-x_0)$ sam rozstrzygnie, czy odcinek AB dodajemy, czy odejmujemy. Możemy więc zapisać: funkcja f jest w punkcie x₀ wypukła, jeśli istnieje jakieś sąsiedztwo O punktu x₀, w którym dla wszystkich x z tego sąsiedztwa O zachodzi zależność:

$$ f(x) > f(x_0) + f^{\prime}(x_0) \cdot (x-x_0). $$

Cała prawa strona nierówności jest właściwie równa wartości t(x). Gdy spojrzysz na rysunek, to jeśli do f(x₀) dodasz długość odcinka AB, otrzymasz właśnie t(x).

Jak znaleźć punkty przegięcia

Już bez wyprowadzenia powiemy, że funkcja f(x) jest w punkcie x₀ wypukła, jeśli zachodzi $f^{\prime\prime}(x_0)\ge0$, a wklęsła, jeśli $f^{\prime\prime}(x_0)\le0$. Słownie: jeśli druga pochodna w punkcie jest nieujemna, to funkcja jest w tym punkcie wypukła. Jeśli zamienimy ≥ na >, otrzymamy definicję funkcji ściśle wypukłej.

Podobnie jak ekstremum funkcji oddzielało malejącą część funkcji od rosnącej, punkty przegięcia oddzielają wypukłe i wklęsłe części funkcji. Punkt przegięcia to więc punkt, w którym funkcja zmienia się z wypukłej we wklęsłą lub odwrotnie. Wcześniej mówiliśmy, że nawet jeśli pierwsza pochodna jest w punkcie równa zeru, wcale nie musi tam być ekstremum. Może tam bowiem być punkt przegięcia.

Co musi zachodzić w punkcie przegięcia? W danym punkcie funkcja wypukła zmienia się we wklęsłą (lub odwrotnie), więc w tym punkcie funkcja musi być jednocześnie wklęsła i wypukła. Albo inaczej: nie może być ani ściśle wypukła, ani ściśle wklęsła. Wypukła lub wklęsła jest, jeśli $f^{\prime\prime}(x)\ge0$ lub $f^{\prime\prime}(x)\le0$. Jedyny przypadek, w którym funkcja może być w punkcie wypukła i wklęsła jednocześnie, to więc sytuacja, gdy $f^{\prime\prime}(x)=0$. Jeśli $f^{\prime\prime}(x)=0$ i jednocześnie $f^{\prime\prime\prime}(x)\ne0$, to w punkcie x jest punkt przegięcia. Przykład:

Znajdź punkty przegięcia funkcji f(x) = x³. Wykres:

Obliczamy pierwszą, drugą i trzecią pochodną:

\begin{eqnarray} f^{\prime}(x)&=&3x^2\\ f^{\prime\prime}(x)&=&6x\\ f^{\prime\prime\prime}(x)&=&6 \end{eqnarray}

Widzimy, że $f^{\prime}(x)=0$ dla x = 0, tak samo $f^{\prime\prime}(0)=0$. Druga pochodna funkcji jest w punkcie 0 równa zeru. Przy tym trzecia pochodna jest dodatnia, czyli różna od zera. Funkcja ma w punkcie x = 0 punkt przegięcia. Z wykresu widzimy, że zmienia się z wklęsłej w wypukłą.