Przebieg zmienności funkcji: ekstrema

Ekstrema funkcji to punkty, w których funkcja przyjmuje swoje największe lub najmniejsze wartości.

Ekstrema funkcji

Rozróżniamy dwa podstawowe rodzaje ekstremów — minimum i maksimum. Dalej rozróżniamy maksimum/minimum globalne i maksimum/minimum lokalne. Maksimum globalne to punkt, w którym funkcja ma największą wartość spośród wszystkich punktów dziedziny. Jeśli funkcja przyjmuje tę wartość tylko w jednym punkcie, mówimy o maksimum właściwym. Funkcja może bowiem mieć największą wartość w kilku punktach, podobnie jak na przykład dwóch różnych pracowników może zarabiać najwyższą pensję, pół miliona złotych miesięcznie. Definicje minimum i maksimum znajdziesz w artykule o funkcjach.

Minimum lokalne definiujemy natomiast tylko na części dziedziny funkcji, zwykle na jakimś przedziale. Definicja maksimum i minimum lokalnego:

• Funkcja f ma w punkcie M ∈ D(f) maksimum lokalne, jeśli istnieje jakieś otoczenie U = (M−ε, M+ε), gdzie ε > 0, takie, że dla wszystkich x∈ U∩ D(f) zachodzi f(x)≤ f(M).
• Funkcja f ma w punkcie m ∈ D(f) minimum lokalne, jeśli istnieje jakieś otoczenie U = (m−ε, m+ε), gdzie ε > 0, takie, że dla wszystkich x∈ U ∩ D(f) zachodzi f(x)≥ f(m).

Przykładem funkcji, która ma nieskończenie wiele ekstremów, jest funkcja f(x) = x · sin x:

A dlaczego w definicji jest „dla wszystkich x∈ U∩ D(f)”, czyli po co tam ta część wspólna z dziedziną? Na przykład dlatego, że funkcja dana tym wykresem…

…ma w punkcie m = 1 minimum, a przy tym w żadnym lewostronnym otoczeniu punktu m = 1 funkcja nie jest określona, więc w tym lewostronnym otoczeniu nie zachodziłoby f(x)≥ f(m). Jeśli weźmiemy jeszcze część wspólną z dziedziną, zostanie nam tylko prawostronne otoczenie.

Podstawowa zasada szukania ekstremów

Wróćmy teraz do wykresu funkcji f(x) = x² + 1 z trzema stycznymi:

Skupimy się przede wszystkim na stycznej c. Widzimy, że styczna dotyka wykresu w minimum funkcji x² + 1 i jest pozioma, czyli równoległa do osi x. „Tworzy” więc z dodatnią półosią x kąt 180 stopni. Co by się stało, gdybyśmy funkcję odwrócili i zamiast minimum miała maksimum? Wykres funkcji −x² + 1:

Zauważ, że styczna c, która przechodzi przez maksimum funkcji −x² + 1, znów jest równoległa do osi x. Wynika z tego prawidłowość: jeśli szukamy minimum lub maksimum funkcji, szukamy stycznej równoległej do osi x, czyli takiej, dla której tangens kąta, jaki tworzy z osią x, jest równy zeru. Z poprzedniego rysunku widać, że $tan(180^{\circ})=0$. W języku pochodnych szukamy więc punktu, w którym pochodna jest równa zeru: $f^{\prime}(x)=0$.

Obliczmy za pomocą pochodnych ekstremum naszej ulubionej funkcji f(x) = x² + 1. Pochodna funkcji f to $f^{\prime}(x)=2x$. Dalej szukamy, kiedy pierwsza pochodna jest równa zeru, tzn. rozwiązujemy równanie $f^{\prime}(x)=0$, po podstawieniu 2x = 0. To oczywiście zachodzi dla x = 0. Widzimy, że zgadza się to z tym, że funkcja f(x) = x² + 1 ma w punkcie x = 0 minimum globalne.

Wyjątki od „reguły”

Chciałoby się powiedzieć, że funkcja ma w punkcie x ekstremum wtedy i tylko wtedy, gdy pochodna w tym punkcie jest równa zeru. Niestety to nieprawda, tak prosto nie jest. Spójrzmy na następujące przykłady:

• Spróbujmy znaleźć ekstrema funkcji f(x) = x³. Pierwsza pochodna tej funkcji to $f^{\prime}(x)=3x^2$. Rozwiązujemy równanie $f^{\prime}(x)=0$, czyli 3x² = 0. To oczywiście zachodzi dla x = 0. Ale czy funkcja x³ ma w punkcie x = 0 jakieś ekstremum? Spójrzmy na wykres:

  

  Widzimy, że w punkcie x = 0 funkcja nie ma żadnego ekstremum. Ani globalnego, ani lokalnego. Dlaczego więc pochodna wychodzi nam w tym punkcie równa zeru? Bo w tym punkcie styczna t jest po prostu równoległa do osi x, zobacz następny rysunek:

  

• A co z sympatyczną funkcją f(x) = |x|, czyli wartością bezwzględną z x? Z wykresu odczytamy, że ma w punkcie x = 0 minimum globalne:

  

  Tyle że ta funkcja nie ma w punkcie x = 0 pochodnej! W punkcie x = 0 funkcja nie ma stycznej, bo trudno powiedzieć, jak taka styczna miałaby wyglądać.

Zachodzi więc:

• Jeśli funkcja f ma w punkcie x ekstremum, tzn. minimum lub maksimum, i jeśli w tym punkcie istnieje pochodna (!), to ta pochodna jest równa zeru. Może się zdarzyć, że funkcja ma w punkcie x ekstremum i jednocześnie w tym punkcie w ogóle nie ma pochodnej.

• Jeśli funkcja f ma w punkcie x pochodną równą zeru, to w tym punkcie może być ekstremum, ale nie musi.

Jak znaleźć ekstrema funkcji

Założymy, że na wejściu mamy funkcję f, która jest różniczkowalna w całej swojej dziedzinie. W pierwszym kroku obliczamy pochodną funkcji f, czyli otrzymujemy funkcję $f^{\prime}$. Następnie przyrównujemy pierwszą pochodną do zera, tzn. rozwiązujemy równanie $f^{\prime}(x) = 0$. Rozwiązaniami tego równania są punkty „podejrzane” o ekstremum, czyli punkty stacjonarne.

Dalej musimy ustalić, które z tych punktów stacjonarnych są ekstremami. Dowiemy się tego na przykład z drugiej pochodnej funkcji f. Jeśli s jest punktem stacjonarnym, tzn. jeśli zachodzi $f^{\prime}(s)=0$, to jeśli $f^{\prime\prime}(s) > 0$, w punkcie s znajduje się minimum, a jeśli $f^{\prime\prime}(s) < 0$, w punkcie s znajduje się maksimum.

Jeśli w tym punkcie także druga pochodna jest równa zeru, musimy różniczkować dalej, o tym później. Teraz przykład. Mamy funkcję f(x) = 3x² + 6x. Znajdź jej ekstrema.

Obliczamy pierwszą pochodną: $f^{\prime}(x)=6x+6$. Przyrównujemy pierwszą pochodną do zera:

\begin{eqnarray} 6x+6&=&0\\ x+1&=&0\\ x&=&-1 \end{eqnarray}

Punkt x = −1 jest więc punktem stacjonarnym, czyli punktem podejrzanym o ekstremum. Obliczamy drugą pochodną. Jest równa funkcji $f^{\prime\prime}(x)=0x+6$. Po podstawieniu punktu x = −1 otrzymujemy $f^{\prime\prime}(-1)=6$. Wynik jest dodatni, funkcja ma w tym punkcie minimum. Wykres:

Co, jeśli także druga pochodna jest równa zeru?

Spróbujmy znaleźć ekstremum funkcji f(x) = x⁴, wykres:

Pierwsza pochodna tej funkcji to $f^{\prime}(x)=4x^3$. Rozwiązaniem równania $f^{\prime}(x)=0$ jest oczywiście jedyny punkt stacjonarny s = 0. Obliczamy drugą pochodną, jest równa $f^{\prime\prime}(x)=12x^2$. Do tej drugiej pochodnej podstawiamy punkt stacjonarny s, więc otrzymujemy

$$f^{\prime\prime}(0)=12\cdot0^2=0.$$

Wyszło nam zero, co według tego, co dotąd powiedzieliśmy, oznaczałoby, że w tym punkcie nie ma ekstremum. Ale przecież widzimy, że ekstremum tam jest. Jeśli dojdzie do takiej sytuacji, różniczkujemy dalej. Znajdujemy trzecią pochodną i podstawiamy do niej punkt stacjonarny s. Jeśli wyjdzie liczba różna od zera, w punkcie s jest tak zwany punkt przegięcia (o tym później). Jeśli wyjdzie zero, różniczkujemy dalej. Przy czwartej pochodnej decydujemy tak samo jak przy drugiej — podstawiamy punkt stacjonarny i dodatnia wartość oznacza, że jest tam minimum, a ujemna, że maksimum.

Trzecia pochodna jest równa $f^{\prime\prime\prime}(x)=24x$, po podstawieniu mamy $f^{\prime\prime\prime}(0) = 0$, więc różniczkujemy dalej. Czwarta pochodna ma postać $f^{\prime\prime\prime\prime}(x)=24$. Widzimy, że czwarta pochodna jest już zawsze dodatnia, z czego możemy — tak samo jak przy drugiej pochodnej — wywnioskować, że funkcja ma w punkcie s = 0 minimum. I rzeczywiście ma.

Podsumowanie: jak znaleźć ekstrema funkcji

1. Mamy daną funkcję f, która jest różniczkowalna.

2. Obliczamy pochodną funkcji f.

3. Rozwiązujemy równanie $f^{\prime}(x)=0$. Wszystkie s, które są rozwiązaniami równania, nazywamy punktami stacjonarnymi, czyli punktami podejrzanymi o ekstremum.

4. Obliczamy drugą pochodną.

5. Obliczamy wartość drugiej pochodnej we wszystkich punktach stacjonarnych s. Jeśli $f^{\prime\prime}(s) > 0$, funkcja ma w punkcie s minimum, jeśli $f^{\prime\prime}(s) < 0$, to w punkcie s jest maksimum. Jeśli $f^{\prime\prime}(s)=0$, różniczkujemy dalej.

   Rada: jeśli nie chce ci się pamiętać, czy druga pochodna musi być dodatnia, czy ujemna, żeby w danym miejscu było maksimum lub minimum, po prostu wyprowadź to sobie na przykład z funkcji x². Wykres tej funkcji na pewno znasz, a pierwsza i druga pochodna są proste: $f^{\prime}(x)=2x$ i $f^{\prime\prime}(x)=2$. Druga pochodna jest więc zawsze dodatnia i funkcja x² ma w punkcie x = 0 minimum.

6. Obliczamy trzecią pochodną. Jeśli $f^{\prime\prime\prime}(s)\ne0$, to w punkcie s jest punkt przegięcia, w przeciwnym razie różniczkujemy dalej.

7. Obliczamy czwartą pochodną. Jeśli $f^{\prime\prime\prime\prime}(s)\ne0$, to w tym punkcie znajduje się ekstremum. W przeciwnym razie różniczkujemy dalej.

8. I tak dalej, i tak dalej. Jeśli pierwszą niezerową pochodną będzie pochodna nieparzystego rzędu, jest to punkt przegięcia. Jeśli będzie to pochodna parzystego rzędu, jest to ekstremum.