Własności sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa

Sinus i cosinus to podstawowe funkcje trygonometryczne.

Sinus

Sinus kąta alfa jest równy stosunkowi długości przyprostokątnej przeciwległej do długości przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym.

$$\sin(\alpha)=\frac{\mbox{Długość przyprostokątnej przeciwległej}}{\mbox{Długość przeciwprostokątnej}}$$

Wykresem funkcji sinus jest krzywa nazywana sinusoidą. Możesz ją zobaczyć na poniższym rysunku:

Sinus jest funkcją okresową, której najmniejszy okres to 2π. Inne własności:

• Dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.
• Zbiorem wartości jest przedział <−1,1>.
• Sinus osiąga maksimum w nieskończenie wielu punktach. Dokładniej: „pierwsze” maksimum ma w punkcie $x=\frac{\pi}{2}$, a ponieważ jest funkcją okresową, maksimum ma też w każdym punkcie $\frac{\pi}{2}+2k\pi$, gdzie k jest liczbą całkowitą. Wartość maksymalna wynosi 1.
• Podobnie z minimum: sinus ma minimum w punktach $-\frac{\pi}{2}+2k\pi$, gdzie k jest liczbą całkowitą, a jego wartość wynosi −1.
• Sinus jest funkcją nieparzystą i ograniczoną.

Cosinus

Cosinus kąta alfa jest równy stosunkowi długości przyprostokątnej przyległej do długości przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym. Jeśli więc obliczymy na kalkulatorze cosinus kąta alfa, otrzymamy wartość ilorazu

$$\cos(\alpha)=\frac{\mbox{długość przyprostokątnej przyległej}}{\mbox{długość przeciwprostokątnej}}.$$

Wykresem funkcji cosinus jest krzywa nazywana cosinusoidą. Możesz ją zobaczyć na poniższym rysunku:

Cosinus jest funkcją okresową, której najmniejszy okres to 2π. Inne własności:

• Dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.
• Zbiorem wartości jest przedział <−1,1>.
• Cosinus osiąga maksimum w nieskończenie wielu punktach. Dokładniej: „pierwsze” maksimum ma w punkcie x = 0, a ponieważ jest funkcją okresową, maksimum ma też w każdym punkcie 2kπ, gdzie k jest liczbą całkowitą. Wartość maksymalna wynosi 1.
• Podobnie z minimum: cosinus ma minimum w punktach π + 2kπ, gdzie k jest liczbą całkowitą, a jego wartość wynosi −1.
• Cosinus jest funkcją parzystą i ograniczoną.

Tangens

Tangens kąta alfa jest równy stosunkowi długości przyprostokątnej przeciwległej do długości przyprostokątnej przyległej w trójkącie prostokątnym. W polskiej szkole tangens oznaczamy jako tg, na kalkulatorach i w źródłach zagranicznych spotkasz też zapis tan.

$$\operatorname{tg}(\alpha)=\frac{\mbox{Długość przyprostokątnej przeciwległej}}{\mbox{Długość przyprostokątnej przyległej}}$$

Wykresem tej funkcji jest krzywa nazywana tangensoidą:

Tangens różni się od poprzednich funkcji przede wszystkim okresem, który nie wynosi już 2π, ale tylko π. Inne własności:

• Dziedziną jest zbiór

$$D(\operatorname{tg})=\mathbb{R}-\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\right\}\quad k\in\mathbb{Z}$$

• Zbiorem wartości jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.
• Tangens nie ma ani maksimum, ani minimum i nie jest funkcją ograniczoną.
• Tangens jest funkcją nieparzystą.

Cotangens

Cotangens kąta alfa jest równy stosunkowi długości przyprostokątnej przyległej do długości przyprostokątnej przeciwległej. W polskiej szkole cotangens oznaczamy jako ctg, w innych źródłach spotkasz też zapis cot albo cotan.

$$\operatorname{ctg}(\alpha)=\frac{\mbox{Długość przyprostokątnej przyległej}}{\mbox{Długość przyprostokątnej przeciwległej}}$$

Wykresem tej funkcji jest krzywa nazywana cotangensoidą:

Inne własności:

• Okres wynosi również π, tak jak w przypadku tangensa.
• Dziedziną jest zbiór

$$D(\operatorname{ctg})=\mathbb{R}-\left\{k\pi\right\};\quad k\in\mathbb{Z}$$

• Zbiorem wartości jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.
• Cotangens nie ma ani maksimum, ani minimum i nie jest funkcją ograniczoną.
• Cotangens jest funkcją nieparzystą.

Związek między sinusem a cosinusem

Funkcje trygonometryczne są ze sobą blisko związane. Kiedy spojrzysz jednocześnie na wykresy funkcji sinus i cosinus, zauważysz, że niewiele się od siebie różnią — jeden wykres jest tylko trochę przesunięty względem drugiego.

Jeśli więc do argumentu funkcji sinus zawsze dodamy π/2, otrzymamy funkcję cosinus:

I odwrotnie: jeśli od argumentu cosinusa odejmiemy π/2, otrzymamy sinus.

Możemy więc zapisać takie wzory:

$$\begin{eqnarray} \sin(x)&=&\cos(x-\frac{\pi}{2})\\ \cos(x)&=&\sin(x+\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray}$$

Jak wyrazić tangens i cotangens

Funkcję tangens możemy łatwo wyrazić za pomocą sinusa i cosinusa. Wystarczy przypomnieć sobie, czym jest tangens: stosunkiem długości przyprostokątnej przeciwległej do długości przyprostokątnej przyległej. Weźmy do pomocy taki trójkąt:

Ile wynosi tangens kąta beta?

$$\operatorname{tg}(\beta)=\frac{|b|}{|c|}.$$

Jak moglibyśmy wyrazić licznik albo mianownik? Ile wynosi długość boku b, a ile długość boku c? Wiemy, że sinus kąta beta jest równy:

$$\sin(\beta)=\frac{|b|}{|a|}$$

Z tego wzoru wyznaczymy |b|:

$$|b|=\sin(\beta)\cdot|a|$$

Cosinus kąta beta jest równy:

$$\cos(\beta)=\frac{|c|}{|a|}$$

Wyznaczymy |c|:

$$|c|=\cos(\beta)\cdot|a|$$

W tej chwili mamy długości boków b i c wyrażone za pomocą funkcji sinus i cosinus. Podstawimy więc te wyniki pośrednie do pierwotnego równania z tangensem:

$$\operatorname{tg}(\beta)=\frac{|b|}{|c|}=\frac{\sin(\beta)\cdot|a|}{\cos(\beta)\cdot|a|}$$

W liczniku i mianowniku możemy skrócić |a| i otrzymujemy końcowy wzór:

$$\operatorname{tg}(\beta)=\frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}$$

Tangens możemy więc zapisać jako iloraz sinusa i cosinusa. Już bez wyprowadzenia powiemy, że cotangens możemy zapisać jako odwrócony ułamek, czyli iloraz cosinusa przez sinus.

$$\begin{eqnarray} \operatorname{tg}(\alpha)&=&\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\\ \operatorname{ctg}(\alpha)&=&\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \end{eqnarray}$$

Związek między tangensem a cotangensem

Tak jak podobne do siebie są funkcje sinus i cosinus, tak podobne są też funkcje tangens i cotangens. Przyjrzyj się obu wykresom na jednym rysunku:

W jaki sposób z krzywej opisującej tangens zrobić krzywą opisującą cotangens? Cotangens jest przesunięty o π/2, od tego zaczniemy:

Jesteśmy już bliżej cotangensa, ale krzywe wciąż biegną w złą stronę: cotangens jest w poszczególnych przedziałach malejący, a ta przesunięta krzywa jest rosnąca. Zaradzimy temu, zmieniając znak zmiennej x:

Możemy więc zapisać:

$$\operatorname{ctg}(x)=\operatorname{tg}(-x+\frac{\pi}{2})$$

Wartości dla wybranych kątów

Sinus, cosinus, tangens i cotangens mają dla niektórych ładnych kątów ładne wartości. Oto ich podstawowe zestawienie:

$$ \LARGE \begin{matrix} &\sin&\cos&\operatorname{tg}&\operatorname{ctg}\\ 0^\circ&0&1&0&\times\\ 30^\circ&\frac12&\frac{\sqrt{3}}{2}&\frac{\sqrt{3}}{3}&\sqrt{3}\\ 45^\circ&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}&1&1\\ 60^\circ&\frac{\sqrt{3}}{2}&\frac12&\sqrt{3}&\frac{\sqrt{3}}{3}\\ 90^\circ&1&0&\times&0 \end{matrix} $$