Kümeler

Küme, elemanlardan oluşan bir topluluk olarak düşünülebilir. Her kümenin sonlu ya da sonsuz olabilen belirli sayıda elemanı vardır. Hiç eleman içermeyebilir de; o zaman boş kümeden söz ederiz. Kümeyi genellikle büyük harfle, örneğin M ile, kümenin elemanlarını ise küçük harfle, örneğin m ile gösteririz.

Küme Nedir

Küme, matematikte birçok başka kavramın tanımlandığı temel kavramlardan biridir; o yüzden öğrenmeye devam ederken şaşırmaman için kümenin ne olduğunu en başta iyice anlamak iyi olur.

Küme, herhangi elemanlardan oluşan bir topluluktur. Matematikte en sık sayı kümeleriyle, yani elemanları sayı olan kümelerle çalışırız. Bir kümenin matematikteki klasik yazılışı şöyledir:

$$M=\{1,2,3\}$$

Böylece “M” adlı, üç elemanı olan bir küme yazdık: 1, 2 ve 3. Kümeleri her zaman küme parantezi içine yazarız; küme parantezi gördüğünde neredeyse her zaman bir kümeyle karşı karşıyasın.

Kümeleri ne için kullanabiliriz? Kümeler çoğu zaman hangi elemanlar arasından seçim yapabileceğimizi belirler. Örneğin günlük hayatta şöyle diyebilirsin: “Ayşe, bir oyun oynayalım mı? 1’den 5’e kadar bir sayı tut.” Böylece Ayşe’nin seçebileceği sayıları sınırlamış oldun. Matematikte bunun için bir küme kullanırdık:

$$L=\{1,2,3,4,5\}$$

Sonra Ayşe’ye şöyle diyebilirdin: “Ayşe, bir oyun oynayalım mı? L kümesinin elemanı olan bir sayı tut.” Oyun kesinlikle hemen daha eğlenceli olurdu. Matematikte bir elemanın kümeye ait olduğunu göstermek için ∈ simgesini, ait olmadığını göstermek için ∉ simgesini kullanırız. Yani 1’in L kümesine ait olduğunu, 7’nin ise ait olmadığını söylemek istersek şöyle yazarız: 1 ∈ L ve 7 ∉ L.

Küme elbette boş da olabilir; bunun için ya P = {} ya da daha kısa olarak P = ∅ yazılır. Dikkat: İki yazılış da “boş küme” anlamına gelir; ama P = {∅} yazarsan, içinde boş küme bulunan bir küme yazmış olursun. Bu, boş küme ile aynı şey değildir.

Sıralanmamışlık ve Tekrar Eden Elemanlar

Bir kümenin elemanlarının belirli bir sıraya dizildiğini söylemeyiz. Küme, sıralanmamış bir eleman topluluğudur. A = {1, 2, 3} ve B = {3, 2, 1} kümeleri olsaydı, bunların aynı olduğunu söylerdik. Elemanların kümedeki sırası kısaca önemli değildir.

Tekrar eden elemanlar da bizi ilgilendirmez. Bir küme aynı elemandan (aynı sayıdan) birden fazla içeriyorsa, her elemanı hep yalnızca bir kez sayarız. Yine A = {1, 1, 2, 2, 2} ve B = {2, 1} kümeleri olsaydı, bunları aynı sayardık. A kümesinin ikişer ya da üçer kez yazılmış elemanlar yüzünden “daha fazla” eleman içermesi önemli değildir. Kümelerle işlem yaparken bu tekrarları kısaca eleriz.

Büyüklük ve Eşitlik

Kümenin büyüklüğü kavramını tanımlayabiliriz; bu, kümedeki elemanların sayısıdır. Önceki örnekteki A = {1, 1, 2, 2, 2} ve B = {2, 1} kümeleri için A kümesinin büyüklüğü 2, B kümesinin büyüklüğü de 2 olur, çünkü kümenin elemanlarını sayarken de tekrar eden elemanlar bizi ilgilendirmez. Kümenin eleman sayısını s(A) ile gösteririz: s(A) = s(B) = 2.

Muhtemelen anladığın gibi iki küme, her ikisi de aynı elemanlara sahipse eşittir. Birkaç örnek:

$$\begin{array}{rcl}\{1,2,3\}& =& \{1,2,3\}\\ \{1,2,3\}& =& \{1,2,3,2,3,1\}\\ \{a,h,o,j\}& =& \{o,o,h,j,a,o\}\\ \{1,3,5,9\}& \ne & \{1,3,9\}\\ \mathrm{\varnothing }& \ne & \left\{x\right\}\end{array}$$

Önemli bir özellik de kümelerin elemanı olarak yine bir küme içerebilmesidir. Örnek: C = {1, 2, {3, 4, 5, 6}}. C kümesinin altı değil, üç elemanlı olduğunu fark etmek önemlidir. C kümesi üç eleman içerir: 1, 2 ve bir küme. 3, 4, 5 ve 6 elemanlarını iç küme içerir, C kümesi değil. Yani s(C) = 3 olur. Daha karmaşık bir örnek:

$$D=\{0,\{1,\{2,3\}\},\left\{4\right\}\}$$

D kümesi kaç eleman içerir? Üç eleman içerir; bu elemanlar şunlardır:

$$D_1=0,D_2=\{1,\{2,3\}\},D_3=\left\{4\right\}$$

Küme sonlu ya da sonsuz olabilir. Şimdiye kadar söz ettiğimiz kümelerin hepsi sonludur. Örneğin tüm sayıların kümesi sonsuzdur.

Alt Küme

A = {1, 2} ve B = {1, 2, 3} gibi iki küme alalım. Bu kümeler farklıdır, çünkü aynı elemanları içermezler; B kümesi daha büyüktür. Yine de B kümesinin tam olarak A kümesindeki elemanları içerdiğini, yalnızca fazladan 3 elemanı olduğunu fark etmişsindir. Bu durumda A, B’nin alt kümesidir diyebiliriz.

A, B’nin alt kümesiyse, A kümesinin içerdiği bütün elemanları B kümesinin de içermesi gerekir. Alt küme olmak bir bağıntıdır ve ⊂ simgesiyle gösterilir. Biçimsel tanım:

$$A\subset B\iff \mathrm{\forall }x\in A:x\in B$$

A ve B kümelerinin aynı olabileceği varsayılır ve bu durumda da A ⊂ B geçerli olur. Kümelerin eşit olmadığını da vurgulamak istiyorsak başka bir simge kullanırız: ⊊. Bu durumda A ⊊ B ise B kümesi (sonluysa) daha büyük olmalıdır; yani A kümesinin içermediği bir eleman içermelidir. Böyle bir kümeye “öz alt küme” deriz. Yani A ⊊ B ise A, B’nin öz alt kümesidir. Öz alt kümenin tanımı:

$$A⊊B\iff (A\subset B\wedge A\ne B)$$

Tanım olağan alt kümenin tanımıyla aynıdır; yalnızca iki kümenin eşit olmaması gerekir. Birkaç örnek:

$$\begin{array}{rcl}\{a,h,o\}& \subset & \{a,h,o,j\}\\ \{a,h,o\}& ⊊& \{a,h,o,j\}\\ \{2,4,6\}& \subset & \{2,4,6,8,\dots \}\\ \{2,4,6\}& ⊊& \{2,4,6,8,\dots \}\\ \{1,2,3\}& \not\subset & \{1,3\}\\ \{1,2,3\}& ⊊̸& \{1,3\}\\ \{0,1\}& \subset & \{0,1\}\\ \{0,1\}& ⊊̸& \{0,1\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subset & \left\{\pi \right\}\\ \mathrm{\varnothing }& ⊊& \left\{\pi \right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subset & \left\{\mathrm{\varnothing }\right\}\\ \mathrm{\varnothing }& ⊊& \left\{\mathrm{\varnothing }\right\}\\ \left\{0\right\}& \not\subset & \mathrm{\varnothing }\\ \left\{0\right\}& ⊊̸& \mathrm{\varnothing }\\ \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr \}& \subset & \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr ,\star ,\bullet ,\mp \}\\ \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr \}& ⊊& \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr ,\star ,\bullet ,\mp \}\end{array}$$

Alt kümenin özellikleri:

• A ⊂ A: küme her zaman kendisinin alt kümesidir.
• A ⊄ neq A: küme hiçbir zaman kendisinin öz alt kümesi değildir.
• ∅ ⊂ A: boş küme her kümenin alt kümesidir.
• A ⊄ neq ∅: boş kümenin hiçbir öz alt kümesi yoktur.

Alt kümeler yardımıyla kümelerin eşitliğini yazabiliriz:

$$A=B\iff A\subset B\wedge B\subset A$$

İki küme aynıysa, biri diğerinin alt kümesidir.

Alt küme olma bağıntısına “kapsama” da denir.

Kuvvet Kümesi

Kuvvet kümesi, verilen bir kümenin bütün alt kümelerinin kümesidir. Genellikle P(M) ya da 2^M ile gösterilir.

Örnek: M = {1, 2, 3}. Bütün alt kümeleri hangileridir? Boş küme ve M kümesinin kendisi kesinlikle bunlardandır. Ayrıca: {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}. Bütün bu kümeler birlikte M kümesinin kuvvet kümesini oluşturur. Şöyle yazarız: P(M) = {∅, M, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}.

Boş küme her kümenin alt kümesi olduğu ve M her zaman M’nin alt kümesi olduğu için her zaman ∅ ∈ P(M) ve M ∈ P(M) olur.

Küme Nasıl Yazılır

Bir yolu zaten söyledik: elemanları sırayla yazmak (listeleme yöntemi). Bunun için küme parantezini kullanırız. M = {1, 2, 3} ya da N = {a, b, c, d} gibi. Sonsuz bir kümeyi yazıyorsak, elemanların nasıl devam edeceği açıksa üç nokta kullanabiliriz: M = {1, 2, 3, …}

Kümeyi yazmanın ana yolu, kümenin ortak özelliğini kullanmaktır (ortak özellik yöntemi). Genel olarak yazılışı şöyle olur: {x ∈ X ∣ P(x)}; burada X elemanları seçeceğimiz küme, P(x) ise kümenin elemanlarını belirleyen bir formüldür. Formül tamamen matematik diliyle ya da sözle yazılabilir. “|” yerine bazen noktalı virgül “;” da kullanılır.

Örneğin “M kümesi, ayın bir gününü gösteren bütün sayıları içersin.” Bir ay en fazla 31 gün sürer; yani böyle bir kümenin 1’den 31’e kadar 31 elemanı olur. Bunu üç nokta ile şöyle yazabiliriz: M = {1, 2, 3, …, 30, 31}. Aynı kümenin bir başka yazılışı şöyle olabilir: {x ∈ ℤ ∣ x ayın bir gününü gösterir}; burada ℤ, tam sayılar kümesini gösterir.

Daha matematiksel bir örnek şöyle olabilir: “P kümesi, 5’e bölünebilen bütün pozitif sayıları içersin.” O zaman küme şöyle görünür: P = {5, 10, 15, 20, 25,…}

Şimdi 10’dan küçük pozitif tam sayıların T kümesini matematiksel olarak yazalım: T = {x ∈ ℤ⁺ ∣ x<10}. Bu yazılış bize şunu söyler: T kümesi, pozitif tam sayılar kümesinden aldığımız ve 10’dan küçük olma koşulunu sağlayan x elemanlarından oluşur. Pozitif tam sayılara bakıp yalnızca 10’dan küçük olanları alırız: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Hepsi bu kadar.

Bir örnek daha: Y = {x ∈ ℤ ∣ x ≠ 0}. Tam sayılardan aldığımız x elemanlarından oluşan bir Y kümesi tanımladık; x için tek koşul sıfır olmamasıdır. Yani Y kümesi sıfır dışındaki bütün tam sayıları içerir.

Bir örnek daha: G = {x ∈ ℝ ∣ x · x = x}. G kümesi, gerçek sayılardan aldığımız x elemanlarını içerir; bu elemanların hepsi için kendisiyle çarpıldığında yine x sayısı elde edilmelidir. Örneğin 5 sayısını deneyebiliriz. Tanıma göre şu eşitlik sağlanmalıdır: 5 · 5 = 5. Bu açıkça sağlanmaz; yani 5 sayısı G kümesinin elemanı olmaz. 1 sayısını deneyelim: 1 · 1 = 1. Bu sayı için eşitlik sağlanır; yani 1 sayısı G kümesinin elemanıdır. İkinci ve aynı zamanda son eleman 0 sayısıdır. Başka hiçbir sayı için eşitlik sağlanmaz. Şöyle yazabiliriz: G = {0, 1}.

Son örnek. Ortak özelliğin karmaşık da olabileceğini görmen için daha karmaşık bir şey yazıyorum:

$$X=\{x\in \mathbb{R}\mid (x^2=2x)\vee (\sin (x)=\pi \wedge \cos (x)=\pi )\}$$

Pratikte küme çoğu zaman ortak özellikle tanımlanır ve matematikteki kavramların hatırı sayılır bir kısmının kümeler yardımıyla tanımlandığı söylenebilir. Örneğin bir aralık alalım: (a, b) aralığı, şu koşulu sağlayan I kümesidir:

$$I=\{x\in \mathbb{R}\mid (x>a)\wedge (x<b)\}$$

Bunlar, gerçek sayılar kümesinden aldığımız, a’dan büyük ve b’den küçük bütün elemanlardır; aralığın ifade ettiği de tam olarak budur.

Diğer Kaynaklar

• Vikipedi