Διμελής σχέση

Η διμελής σχέση είναι ένας ειδικός τύπος σχέσης με αριθμό ορισμάτων δύο. Στις τυπικές διμελείς σχέσεις ανήκουν για παράδειγμα η σχέση «μικρότερο από», η ισότητα, η διαιρετότητα, η σχέση «μεγαλύτερο από» κ.ά.

Παραδείγματα

Η διμελής σχέση είναι μία από τις τυπικές και συχνά εμφανιζόμενες σχέσεις. Έχει επίσης ορισμένες ενδιαφέρουσες ιδιότητες, που θα περιγράψουμε εδώ.

Παράδειγμα διμελούς σχέσης είναι η σχέση «πατέρας – γιος», το ζεύγος «μεταφορικό μέσο – αριθμός τροχών» ή η γενικότερη σχέση «αντικείμενο – ιδιότητα του αντικειμένου». Αντικείμενο μπορεί να είναι ένα ζώο και ιδιότητα ο αριθμός των ποδιών, η μέση διάρκεια ζωής, ο αριθμός των τριχών στο κεφάλι και ούτω καθεξής.

Τη διμελή σχέση R ανάμεσα στα σύνολα M₁ και M₂ μπορούμε να την ορίσουμε ως εξής: R ⊆ M₁ × M₂. Η διμελής σχέση είναι λοιπόν ένα σύνολο ζευγών, το οποίο είναι υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου των δύο συνόλων ανάμεσα στα οποία ορίζουμε τη σχέση. Έτσι η σχέση «πατέρας – γιος» μπορεί να είναι σχέση ανάμεσα στο σύνολο όλων των ανθρώπων, στο σύνολο όλων των ανθρώπων στην Ευρώπη ή στην Αθήνα. Μπορούμε να περιορίσουμε το σύνολο και προς άλλη κατεύθυνση: μπορούμε να πούμε ότι ορίζουμε τη σχέση ανάμεσα στο σύνολο όλων των ανδρών και όχι των ανθρώπων γενικά.

Για τις διμελείς σχέσεις χρησιμοποιούμε συνήθως ειδικό συμβολισμό. Αντί να γράφουμε (a, b) ∈ R, μπορούμε να γράψουμε aRb. Για παράδειγμα, αντί για (3, 1) ∈ > μπορούμε να γράψουμε 3 > 1. Παρόμοια και για τις άλλες σχέσεις. Άρα η γραφή aSb είναι ισοδύναμη με τη γραφή (a, b) ∈ S.

Αντίστροφη σχέση

Η αντίστροφη σχέση είναι η σχέση αντίθετη προς την τρέχουσα σχέση. (Προσοχή, να μη συγχέεται με το συμπλήρωμα της σχέσης.) Ποια είναι η αντίθετη σχέση της σχέσης «μικρότερο από»; Το «μεγαλύτερο από». Αν η σχέση «μικρότερο από» περιέχει το στοιχείο (4, 7), δηλαδή 4 < 7, τότε το αντίστροφο στοιχείο θα είναι το αντίθετο: 7 > 4, δηλαδή στην αντίστροφη σχέση θα υπάρχει το αντίστροφο ζεύγος (7, 4).

Αν έχουμε τη σχέση R ⊆ M₁ × M₂, την αντίστροφη σχέση R⁻¹ την κατασκευάζουμε παίρνοντας όλα τα στοιχεία (a, b) ∈ R και βάζοντας στην R⁻¹ το αντίστροφό τους. Δηλαδή αν η σχέση R περιέχει το στοιχείο (a, b), τότε η σχέση R⁻¹ πρέπει να περιέχει το στοιχείο (b, a). Ισχύει και το αντίστροφο: αν η R⁻¹ περιέχει το στοιχείο (b, a), τότε η σχέση R πρέπει να περιέχει το στοιχείο (a, b).

Σε μορφή ορισμού, η σχέση R⁻¹ είναι αντίστροφη της R αν και μόνο αν ισχύει:

$$\mathrm{\forall }a\in M_1\mathrm{\forall }b\in M_2:(a,b)\in R\iff (b,a)\in R^{-1}$$

Έτσι ισχύει 6 < 8 αν και μόνο αν 8 > 6. Παρόμοια και για τα υπόλοιπα ζεύγη.

Σύνθεση σχέσεων

Τις διμελείς σχέσεις μπορούμε να τις συνθέτουμε μεταξύ τους. Έστω δύο σχέσεις: η πρώτη, R, είναι «είναι ο πατέρας του γιου του» και η δεύτερη, S, «είναι ο αδελφός της αδελφής του». Η σχέση R περιέχει λοιπόν ζεύγη (πατέρας, γιος) και η δεύτερη σχέση ζεύγη (αδελφός, αδελφή).

Τώρα θα δοκιμάσουμε να συνθέσουμε τις σχέσεις. Προκύπτει μια νέα σχέση, που τη συμβολίζουμε R ∘ S, και αυτή περιέχει το στοιχείο (a, c) αν και μόνο αν (a, b) ∈ R και ταυτόχρονα (b, c) ∈ S. Πρόσεξε ότι το b εμφανίζεται και στα δύο στοιχεία, μία φορά στη δεύτερη θέση και μία φορά στην πρώτη θέση του ζεύγους. Αυτό είναι το στοιχείο σύνδεσης της σύνθεσης.

Παράδειγμα: R = {(Τάσος, Μάριος), (Πέτρος, Ιάκωβος)} και S = {(Μάριος, Ιωάννα), (Μάριος, Λένα), (Ιάκωβος, Λουκία)}. Ο Τάσος είναι πατέρας του Μάριου, ο Πέτρος είναι πατέρας του Ιάκωβου. Ο Μάριος έχει αδελφές την Ιωάννα και τη Λένα και ο Ιάκωβος έχει αδελφή τη Λουκία.

Τώρα συνθέτουμε τις σχέσεις: R ∘ S. Ψάχνουμε ένα ζεύγος από την R, που στη θέση του γιου έχει κάποιον ο οποίος εμφανίζεται ως αδελφός στη σχέση S. Για παράδειγμα αυτά τα δύο ζεύγη: (Τάσος, Μάριος) και (Μάριος, Ιωάννα). Ο Μάριος είναι το στοιχείο σύνδεσης, δεν τον χρειαζόμαστε πια και από τα υπόλοιπα ονόματα φτιάχνουμε ένα νέο ζεύγος: (Τάσος, Ιωάννα). Η σχέση R ∘ S περιέχει λοιπόν το ζεύγος (Τάσος, Ιωάννα). Ο Μάριος έχει και μια ακόμη αδελφή, τη Λένα, και αυτήν την προσθέτουμε στη σύνθετη σχέση: (Τάσος, Λένα). Τέλος μένει ο γιος Ιάκωβος. Αυτός έχει αδελφή τη Λουκία. Έχουμε λοιπόν δύο ζεύγη: (Πέτρος, Ιάκωβος) και (Ιάκωβος, Λουκία). Έτσι φτιάχνουμε ένα ακόμη στοιχείο: (Πέτρος, Λουκία).

Το αποτέλεσμα είναι η σχέση R ∘ S = {(Τάσος, Ιωάννα), (Τάσος, Λένα), (Πέτρος, Λουκία)}. Πώς θα μπορούσαμε να ονομάσουμε αυτή τη σχέση; Μάλλον «είναι ο πατέρας της κόρης του».

Ακόμη μία φορά ολόκληρος ο ορισμός:

$$(a,c)\in (R\circ S)\iff \mathrm{\exists }b(a,b)\in R\wedge (b,c)\in S$$

Σημείωση: μερικές φορές χρησιμοποιείται ο αντίστροφος συμβολισμός, δηλαδή για τον ίδιο ορισμό θα γραφόταν S ∘ R αντί για R ∘ S.