Relación binaria

Una relación binaria es un tipo especial de relación de aridad dos. Entre las relaciones binarias típicas están, por ejemplo, «menor que», la igualdad, la divisibilidad, «mayor que», etc.

Ejemplos

La relación binaria es una de las relaciones más típicas y frecuentes. Además, tiene algunas propiedades interesantes que describiremos aquí.

Ejemplos de relación binaria pueden ser: el vínculo «padre-hijo», el par «medio de transporte-número de ruedas» o, de forma más general, «objeto-propiedad del objeto». El objeto puede ser un animal y la propiedad, el número de patas, la esperanza de vida media, el número de pelos de la cabeza y cosas por el estilo.

Una relación binaria R entre los conjuntos M₁ y M₂ podemos definirla así: R ⊆ M₁ × M₂. Una relación binaria es, por tanto, un conjunto de pares, y ese conjunto es un subconjunto del producto cartesiano de los dos conjuntos entre los que establecemos la relación. Así, la relación «padre-hijo» puede ser una relación entre los conjuntos de todas las personas, de todas las personas de Europa o de Madrid. También podemos acotar el conjunto en otro sentido: podemos decir que definimos esa relación entre el conjunto de todos los hombres, y no entre el de las personas en general.

Para las relaciones binarias solemos usar una notación especial. En lugar de escribir (a, b) ∈ R, podemos escribir aRb. Por ejemplo, en lugar de (3, 1) ∈ > podemos escribir 3 > 1. De manera similar para las demás relaciones. Así, la expresión aSb es equivalente a (a, b) ∈ S.

Relación inversa

La relación inversa es la relación opuesta a la relación dada. (Ojo, no la confundas con el complementario de una relación.) ¿Cuál es la relación opuesta a «menor que»? «Mayor que». Si la relación «menor que» contiene el elemento (4, 7), es decir, 4 < 7, el elemento inverso será el opuesto: 7 > 4, y en la relación inversa estará el par inverso (7, 4).

Si tenemos una relación R ⊆ M₁ × M₂, construimos la relación inversa R⁻¹ tomando todos los elementos (a, b) ∈ R y poniendo en R⁻¹ su inverso. Es decir, si la relación R contiene el elemento (a, b), la relación R⁻¹ debe contener el elemento (b, a). Esto vale también a la inversa: si R⁻¹ contiene el elemento (b, a), la relación R debe contener el elemento (a, b).

Si lo definimos formalmente, la relación R⁻¹ es inversa de R si y solo si se cumple:

$$\mathrm{\forall }a\in M_1\mathrm{\forall }b\in M_2:(a,b)\in R\iff (b,a)\in R^{-1}$$

Así, 6 < 8 si y solo si 8 > 6. De manera similar para otros pares.

Composición de relaciones

Las relaciones binarias se pueden componer entre sí. Tomemos dos relaciones: la primera, R, será «ser el padre de su hijo» y la segunda, S, «ser el hermano de su hermana». La relación R contiene así pares (padre, hijo) y la segunda relación contiene pares (hermano, hermana).

Ahora intentaremos componer las relaciones. Obtendremos una nueva relación, que designaremos R ∘ S, y que contiene el elemento (a, c) si y solo si (a, b) ∈ R y, al mismo tiempo, (b, c) ∈ S. Fíjate en que en ambos elementos aparece b, una vez en el segundo lugar y otra en el primer lugar del par. Es una especie de elemento de enlace de la composición.

Ejemplo: R = {(Antonio, Marcos), (Pedro, Jaime)} y S = {(Marcos, Julia), (Marcos, Elena), (Jaime, Lucía)}. Antonio es el padre de Marcos, Pedro es el padre de Jaime. Marcos tiene dos hermanas, Julia y Elena, y Jaime tiene una hermana, Lucía.

Ahora componemos las relaciones: R ∘ S. Buscamos un par de R que tenga en el lugar del hijo a alguien que figure como hermano en la relación S. Por ejemplo, estos dos pares: (Antonio, Marcos) y (Marcos, Julia). Marcos es el elemento de enlace, no lo necesitamos más y con los nombres restantes formamos un nuevo par: (Antonio, Julia). La relación R ∘ S contiene, pues, el par (Antonio, Julia). Marcos tiene todavía otra hermana, Elena, y también la añadimos a la relación compuesta: (Antonio, Elena). Por último queda el hijo Jaime. Tiene una hermana, Lucía. Así que tenemos dos pares: (Pedro, Jaime) y (Jaime, Lucía). Con ellos creamos otro elemento: (Pedro, Lucía).

El resultado es la relación: R ∘ S = {(Antonio, Julia), (Antonio, Elena), (Pedro, Lucía)}. ¿Cómo podríamos llamar a esta relación? Probablemente «ser el padre de su hija».

Una vez más, la definición completa:

$$(a,c)\in (R\circ S)\iff \mathrm{\exists }b(a,b)\in R\wedge (b,c)\in S$$

Nota: a veces se usa la notación inversa, es decir, para la misma definición se escribiría S ∘ R en lugar de R ∘ S.