Relações binárias

Uma relação binária é um tipo especial de relação com aridade dois. Entre as relações binárias típicas estão, por exemplo, menor que, igualdade, divisibilidade, maior que etc.

Exemplos

A relação binária é uma das relações típicas e mais comuns. Além disso, tem algumas propriedades interessantes, que descrevemos aqui.

Um exemplo de relação binária pode ser: o vínculo “pai — filho”, o par “meio de transporte — número de rodas” ou o mais geral “objeto — propriedade do objeto”. O objeto pode ser um animal e a propriedade, o número de patas, o tempo médio de vida, o número de pelos na cabeça e assim por diante.

Podemos definir uma relação binária R entre os conjuntos M₁ e M₂ assim: R ⊆ M₁ × M₂. Uma relação binária é, portanto, um conjunto de pares, e esse conjunto é um subconjunto do produto cartesiano dos dois conjuntos entre os quais definimos a relação. Assim, a relação “pai — filho” pode ser uma relação entre os conjuntos de todas as pessoas, de todas as pessoas do Brasil ou de São Paulo. Também podemos restringir o conjunto em outra direção: podemos dizer que definimos essa relação entre os conjuntos de todos os homens, e não de pessoas em geral.

Para as relações binárias usamos normalmente uma notação especial. Em vez de escrever (a, b) ∈ R, podemos escrever aRb. Por exemplo, em vez de (3, 1) ∈ > podemos escrever 3 > 1. Do mesmo modo para as outras relações. Assim, a notação aSb é equivalente a (a, b) ∈ S.

Relação inversa

A relação inversa é a relação oposta à relação atual. (Atenção, não confunda com o complementar de uma relação.) Qual é a relação oposta à relação menor que? Maior que. Se a relação menor que contém o elemento (4, 7), ou seja, 4 < 7, então o elemento inverso será o oposto: 7 > 4, e na relação inversa estará o par inverso (7, 4).

Se temos a relação R ⊆ M₁ × M₂, construímos a relação inversa R⁻¹ tomando todos os elementos (a, b) ∈ R e colocando em R⁻¹ o seu inverso. Ou seja, se a relação R contém o elemento (a, b), então a relação R⁻¹ deve conter o elemento (b, a). Isso vale também no sentido contrário: se R⁻¹ contém o elemento (b, a), então a relação R deve conter o elemento (a, b).

Se formos defini-la, a relação R⁻¹ é inversa de R se e somente se vale:

$$\mathrm{\forall }a\in M_1\mathrm{\forall }b\in M_2:(a,b)\in R\iff (b,a)\in R^{-1}$$

Assim, vale 6 < 8 se e somente se 8 > 6. Do mesmo modo para os outros pares.

Composição de relações

Podemos compor relações binárias entre si. Considere duas relações: a primeira, R, será “ser pai do seu filho” e a segunda, S, “ser irmão da sua irmã”. A relação R contém, então, pares (pai, filho) e a segunda relação contém pares (irmão, irmã).

Agora vamos tentar compor as relações. Surgirá uma nova relação, que chamaremos de R ∘ S, e essa relação contém o elemento (a, c) se e somente se (a, b) ∈ R e, ao mesmo tempo, (b, c) ∈ S. Repare que b aparece nos dois elementos, uma vez na segunda posição e depois na primeira posição do par. Ele é uma espécie de elemento de ligação da composição.

Exemplo: R = {(Carlos, Marcos), (Pedro, Tiago)} e S = {(Marcos, Ana), (Marcos, Camila), (Tiago, Laura)}. Carlos é pai de Marcos, Pedro é pai de Tiago. Marcos tem as irmãs Ana e Camila, e Tiago tem a irmã Laura.

Agora vamos compor as relações: R ∘ S. Procuramos um par de R que tenha na posição do filho alguém que consta como irmão na relação S. Por exemplo, estes dois pares: (Carlos, Marcos) e (Marcos, Ana). Marcos é o elemento de ligação, que não precisamos mais, e com os nomes restantes formamos um novo par: (Carlos, Ana). A relação R ∘ S contém, então, o par (Carlos, Ana). Marcos ainda tem outra irmã, Camila, e também a adicionamos à relação composta: (Carlos, Camila). Por fim, resta o filho Tiago. Ele tem a irmã Laura. Então temos dois pares: (Pedro, Tiago) e (Tiago, Laura). Com isso formamos mais um elemento: (Pedro, Laura).

O resultado é a relação: R ∘ S = {(Carlos, Ana), (Carlos, Camila), (Pedro, Laura)}. Como poderíamos chamar essa relação? Provavelmente, “ser pai da sua filha”.

Mais uma vez, a definição completa:

$$(a,c)\in (R\circ S)\iff \mathrm{\exists }b(a,b)\in R\wedge (b,c)\in S$$

Observação: às vezes se usa a notação inversa, isto é, para a mesma definição se usaria S ∘ R em vez de R ∘ S.